Alhazen bzw. Al Haitham < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:34 Do 22.09.2011 | | Autor: | ifink |
| Aufgabe | | Herleitung der Summenformel für Quadratzahlen nach Ibn Al Haitham. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die nachfolgende Frage hat keine Prüfungsrelevanz für mich, ich stelle sie nur aus persönlichem Interesse:
Es gibt verschiedene, verständliche Herleitungen, aber die nachfolgende verstehe ich – in der veröffentlichten Form – nicht:
Ibn Al Haitham bzw. Alhazen hat die Summenformel wie folgt ermittelt:
Rechteck der Länge (1+2+3+4) und der Breite 5.
Die Flächen [mm] 1^{2}, 2^{2}, 3^{2} [/mm] und [mm] 4^{2} [/mm] hat er eingezeichnet und markiert. Es verbleiben dann noch die nicht markierten Flächen [mm] 1\*1, 1\*(1+2), 1\*(1+2+3) [/mm] und [mm] 1\*(1+2+3+4).
[/mm]
(1+2+3+4) bzw. (1+2+3+...+n) ist die Summe der natürlichen Zahlen, also [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] bzw. [mm] \bruch{n^{2}+n}{2}. [/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] 1^{2} [/mm] + [mm] 2^{2} [/mm] + [mm] 3^{2} [/mm] + [mm] 4^{2} [/mm] + [mm] 1\*1 [/mm] + [mm] 1\*(1+2) [/mm] + [mm] 1\*(1+2+3) [/mm] + [mm] 1\*(1+2+3+4) =\bruch{(4^{2}+4)}{2} \* [/mm] 5 und wegen [mm] \bruch {n^2 + n}{2} [/mm]
[mm] 1^{2} [/mm] + [mm] 2^{2} [/mm] + [mm] 3^{2} [/mm] + [mm] 4^{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\*(1^{2}+1) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\*(2^{2}+2) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\*(3^{2}+3) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\*(4^{2}+4) [/mm] = [mm] 5\*\bruch{1}{2}\*(4^{2}+4)
[/mm]
Soweit kein Problem. Allerdings überspringt der Autor, der diese Herleitung veröffentlicht hat (siehe http://www.mathematik-online.de/F35.htm), einige wichtige Zwischenschritte. Sogleich führt er nämlich weiter aus:
[mm] \Rightarrow 3(1^{2} [/mm] + [mm] 2^{2} [/mm] + [mm] 3^{2} [/mm] + [mm] 4^{2}) [/mm] = 9 [mm] \* \bruch{(4^{2}+4)}{2}
[/mm]
Das stimmt zwar, folgt aber eben gerade nicht aus der vorhergehenden Zeile. Denn wenn ich in der vorherigen Zeile beide Seiten ausrechne, erhalte ich konsequenter- bzw. logischerweise jeweils 50.
Kennt jemand diese Herleitung und könnte mir die fehlenden Zwischenschritte erläutern oder - alternativ - vielleicht sagen, wo ich dies plausibel erklärt nachlesen kann?
Die Berechnungen im Einzelnen im genannten Artikel verstehe ich. Mir fehlt nur besagter Zwischenschritt.
Herzlichen Dank für Eure Bemühungen.
ifink
PS: Sollte jemand innerhalb von 24 h geantwortet und bis Samstag Abend von mir keine Antwort erhalten haben, bitte nicht wundern: Ich bin erst Samstag Abend wieder daheim.
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Hallo ifink,
es ist nicht so schwierig, wie es aussieht.
> Die nachfolgende Frage hat keine Prüfungsrelevanz für
> mich, ich stelle sie nur aus persönlichem Interesse:
Das sind meist die besten Fragen. 
> Ibn Al Haitham bzw. Alhazen hat die Summenformel wie folgt
> ermittelt:
>
> Rechteck der Länge (1+2+3+4) und der Breite 5.
>
> Die Flächen [mm]1^{2}, 2^{2}, 3^{2}[/mm] und [mm]4^{2}[/mm] hat er
> eingezeichnet und markiert. Es verbleiben dann noch die
> nicht markierten Flächen [mm]1\*1, 1\*(1+2), 1\*(1+2+3)[/mm] und
> [mm]1\*(1+2+3+4).[/mm]
>
>
> (1+2+3+4) bzw. (1+2+3+...+n) ist die Summe der natürlichen
> Zahlen, also [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] bzw. [mm]\bruch{n^{2}+n}{2}.[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
> [mm]1^{2}[/mm] + [mm]2^{2}[/mm] + [mm]3^{2}[/mm] + [mm]4^{2}[/mm] + [mm]1\*1[/mm] + [mm]1\*(1+2)[/mm] +
> [mm]1\*(1+2+3)[/mm] + [mm]1\*(1+2+3+4) =\bruch{(4^{2}+4)}{2} \*[/mm] 5 und
> wegen [mm]\bruch {n^2 + n}{2}[/mm]
>
> [mm]1^{2}[/mm] + [mm]2^{2}[/mm] + [mm]3^{2}[/mm] + [mm]4^{4}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}\*(1^{2}+1)[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}\*(2^{2}+2)[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}\*(3^{2}+3)[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}\*(4^{2}+4)[/mm] = [mm]5\*\bruch{1}{2}\*(4^{2}+4)[/mm]
>
> Soweit kein Problem.
Sehe ich auch so.
> Allerdings überspringt der Autor, der
> diese ![[]](/images/popup.gif) Herleitung veröffentlicht hat (siehe
> http://www.mathematik-online.de/F35.htm), einige wichtige
> Zwischenschritte. Sogleich führt er nämlich weiter aus:
> [mm]\Rightarrow 3(1^{2}[/mm] + [mm]2^{2}[/mm] + [mm]3^{2}[/mm] + [mm]4^{2})[/mm] = 9 [mm]\* \bruch{(4^{2}+4)}{2}[/mm]
Das wäre ja schön, aber leider fehlt ihm (auf der von Dir genannten und jetzt oben verlinkten web-Seite) auf der rechten Seite der Gleichung der Divisor 2.
> Das stimmt zwar, folgt aber eben gerade nicht aus der
> vorhergehenden Zeile. Denn wenn ich in der vorherigen Zeile
> beide Seiten ausrechne, erhalte ich konsequenter- bzw.
> logischerweise jeweils 50.
Na, bei Äquivalenzumformungen von Gleichungen ändern sich doch fast immer die Werte. Die Umformungsregeln garantieren nur, dass die Gleichheit auch nach der Umformung gilt. Wenn Du also auf beiden Seiten das gleiche addierst, oder beide Seiten mit dem gleichen Faktor multiplizierst, oder ... oder ... oder, dann bleibt die Gleichheit erhalten. So auch hier.
Für einen nachvollziehbaren Rechenweg fehlen hier aber definitiv zu viele Zwischenschritte. Hier mal kleinschrittiger:
[mm] 1^2+2^2+3^2+4^2+\bruch{1}{2}(\blue{1^2}+1)+\bruch{1}{2}(\blue{2^2}+2)+\bruch{1}{2}(\blue{3^2}+3)+\bruch{1}{2}(\blue{4^2}+4)=5*\bruch{1}{2}(4^2+4)
[/mm]
Linke Seite anders zusammenfassen:
[mm] (1^2+2^2+3^2+4^2)+\bruch{1}{2}*(\blue{1^2+2^2+3^2+4^2})+\bruch{1}{2}*(1+2+3+4)=\bruch{5}{2}*(4^2+4)
[/mm]
Weiter zusammenfassen und Summenformel anwenden:
[mm] \bruch{3}{2}*(1^2+2^2+3^2+4^2)+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}*(4^2+4)=\bruch{5}{2}*(4^2+4)
[/mm]
Mit 2 multiplizieren:
[mm] 3*(1^2+2^2+3^2+4^2)+\bruch{1}{2}*(4^2+4)=\bruch{10}{2}*(4^2+4)
[/mm]
Einen Term auf die rechte Seite bringen und dort zusammenfassen:
[mm] 3*(1^2+2^2+3^2+4^2)=\bruch{10}{2}*(4^2+4)-\bruch{1}{2}*(4^2+4)=\bruch{9}{2}*(4^2+4)
[/mm]
Das wars dann auch schon.
> Kennt jemand diese Herleitung und könnte mir die fehlenden
> Zwischenschritte erläutern oder - alternativ - vielleicht
> sagen, wo ich dies plausibel erklärt nachlesen kann?
Alles klar?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Sa 24.09.2011 | | Autor: | ifink |
Hallo reverend,
ja, vielen Dank.
> Das wäre ja schön, aber leider fehlt ihm (auf der von Dir
> genannten und jetzt oben verlinkten web-Seite) auf der
> rechten Seite der Gleichung der Divisor 2.
Das hatte ich bemerkt, es aber - sagen wir mal - "taktvoll" übersehen.
Ich habe es mir schon fast gedacht, dass es im Prinzip ganz einfach ist. Weil man aber immer so kompliziert denkt....
Nun ist alles klar.
Vielen Dank noch einmal.
Beste Grüße
ifink
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