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Algebraische Zahlen: Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:57 Do 13.11.2008
Autor: zerocool

Aufgabe
Eine Zahl x [mm] \in \IR [/mm] heißt algebraisch, wenn es eine natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 1 und rationale Zahlen [mm] a_{1},a_{2},...,a_{n} \in \IQ [/mm] gibt, so dass

          [mm] x^{n} [/mm] + [mm] a_{1}x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{n-1}x [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] = 0.

Man bweise: Die Menge A [mm] \subset \IR [/mm] aller algebraischen Zahlen ist abzählbar.
Hinweis. Man zeige dazu, dass die Menge aller Polynome mit rationalen Koeffizienten abzählbar ist und benutze (ohne Beweis), dass ein Polynom n-ten Grades höchstens n Nullstellen hat.

Mein Beweis geht so vor:

Definiere

     [mm] A_{n} [/mm] := { [mm] p_{n}(x) [/mm] = [mm] x^{n} [/mm] + [mm] a_{1}x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{n-1}x [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] : [mm] a_{1},a_{2},...,a_{n} \in \IQ [/mm] , x [mm] \in \IR} [/mm]  , n [mm] \in \IN [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 .

Seien [mm] p_{n}(x), q_{n}(x) \in A_{n} [/mm]

        [mm] p_{n}(x) [/mm] = [mm] x^{n} [/mm] + [mm] a_{1}x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{n-1}x [/mm] + [mm] a_{n} [/mm]

        [mm] q_{n}(x) [/mm] = [mm] x^{n} [/mm] + [mm] b_{1}x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] b_{n-1}x [/mm] + [mm] b_{n} [/mm] .

Dann gilt
        
        [mm] (\forall [/mm] x [mm] \in \IR) p_{n}(x) \not= q_{n}(x) \gdw (\exists [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,...,n}) [mm] a_{i} \not= b_{i} [/mm]      (*)

Behauptung: Für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 die Menge [mm] A_{n} [/mm] ist abzählbar.
        Beweis. Vollständige Induktion nach n.
        IA : n = 1.Dann

              [mm] A_{1} [/mm] = { [mm] p_{1}(x) [/mm] = x + [mm] a_{1} [/mm] : [mm] a_{1} \in \IQ [/mm] , x [mm] \in \IR [/mm] }
              
              Weil [mm] a_{1} \in \IQ [/mm] ist, folgt
                      [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{k}{n} [/mm] , k [mm] \in \IZ [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm]  n [mm] \ge [/mm] 1.
              Definiere [mm] D_{n} [/mm] := { [mm] p_{1}(x) [/mm] = x + [mm] \bruch{k}{n} [/mm] }. Weil [mm] \IZ [/mm] abzählbar ist, folgt nach (*)
              dass auch [mm] D_{n} [/mm] abzählbar für alle n [mm] \ge [/mm] 1 ist. Dann [mm] A_{1} [/mm] können wir schreiben als

             [mm] A_{1} [/mm] = [mm] \bigcup_{n \ge 1} D_{n} [/mm]      ,d.h. [mm] A_{1} [/mm] ist eine abzählbare Vereinigung
             abzählbarer Mengen [mm] \Rightarrow A_{1} [/mm] ist abzählbar.

        IV : Behaupte, dass [mm] A_{n} [/mm] abzählbar ist für ein n [mm] \in \IN. [/mm]
        IS : n [mm] \to [/mm] n + 1.Dann
          
             [mm] A_{n+1} [/mm] =  { [mm] p_{n+1}(x) [/mm] = [mm] x^{n+1} [/mm] + [mm] a_{1}x^{n} [/mm] + ... + [mm] a_{n-1}x^{2} [/mm] + [mm] a_{n}x [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] : [mm] a_{1},a_{2},...,a_{n+1} \in \IQ [/mm] , x [mm] \in \IR [/mm] }

        = { [mm] p_{n+1}(x) [/mm] = [mm] x(x^{n} [/mm] + [mm] a_{1}x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{n-1}x [/mm] + [mm] a_{n}) [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] } = { [mm] p_{n+1}(x) [/mm] = [mm] x*p_{n}(x) [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] : [mm] p_{n} \in A_{n} [/mm] }

        Für fixiertes [mm] a_{n+1} \in \IQ [/mm] ist [mm] A_{n+1} [/mm] nach IV und (*) abzählbar.Weiter,
        [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{k}{m} [/mm] für k [mm] \in \IZ [/mm] und m [mm] \in \IN, [/mm] m [mm] \ge [/mm] 1.Somit
        definieren wir

        [mm] B_{m} [/mm] := { [mm] q_{n} [/mm] = [mm] x*p_{n}(x) [/mm] + [mm] \bruch{k}{m} [/mm] : x [mm] \in \IR, p_{n} \in A_{n}, [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] } .
        Weil [mm] \IZ [/mm] abzählbar ist, folgt nach IV, und (*) dass [mm] B_{m} [/mm] abzählbar  für alle m [mm] \ge [/mm] 1 ist.
        Somit

             [mm] A_{n+1} [/mm] = [mm] \bigcup_{m \ge 1}B_{m} [/mm]           ist eine abz. Vereinigung abz.
             Mengen [mm] \Rightarrow A_{n+1} [/mm] ist abzählbar                                                         q.e.d.

Mit P bezeichne die Menge aller Polynomen mit rationalen Koeffizienten.Dann

       P := [mm] \bigcup_{n \ge 1}A_{n} [/mm]      ist wieder eine abz. Vereinigung abz. Mengen und somit
       P ist abzählbar.

Für n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 sei

     [mm] C_{n} [/mm] := { x [mm] \in \IR [/mm] : [mm] p_{n}(x) [/mm] = 0 für [mm] p_{n}(x) \in A_{n} [/mm] }. Weil [mm] p_{n}(x) [/mm] ein Polynom
     n-ter Grad ist, wir können benutzen dass [mm] p_{n}(x) [/mm] höchstens n Nullstellen hat und somit

     [mm] |C_{n}| \le [/mm] n     ,d.h. [mm] (\forall [/mm] n [mm] \in \IN)(n \ge [/mm] 1) [mm] C_{n} [/mm] endlich ist und
     auf dieser Weise auch abzählbar.

     Damit die Menge der algebraischen Zahlen ist

     A := [mm] \bigcup_{n \ge 1} C_{n} [/mm]   nach (§9 Satz 1, Ana I - O. Forster) abzählbar.

                                                                                         q.e.d.

Meine Frage ist: Ist das IS Teil meiner Induktionsbeweis korrekt?
Ich bin ein bischen verzweifelt.Ich bitte euch um Korrektur.

                                                                                         mfG,
                                                                                         Rado


        
Bezug
Algebraische Zahlen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:24 Sa 15.11.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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