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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | Sei L|K eine Körpererweiterung und seien a,b [mm] \in [/mm] L algebraisch über K.
Zeigen Sie: Dann sind auch a+b und a*b algebraisch über K. |
Hallo,
wir sollen obige Aussage zeigen. Ich weiß aber nicht genau warum a+b und a*b auch algebraisch sein sollen.
Algebraisch heißt ja, dass sowohl a als auch b eine Polynomgleichung [mm] a_1 X^0 [/mm] + ... + [mm] a_n X^n [/mm] = 0 auf nicht-triviale Weise erfüllen. Allerdings weiß ich damit noch nichts groß anzufangen.
Kann mir hier vielleicht jemand helfen das zu zeigen?
mfg,
Leader.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mi 21.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Leader
> Sei L|K eine Körpererweiterung und seien a,b [mm]\in[/mm] L
> algebraisch über K.
>
> Zeigen Sie: Dann sind auch a+b und a*b algebraisch über K.
> Hallo,
>
> wir sollen obige Aussage zeigen. Ich weiß aber nicht genau
> warum a+b und a*b auch algebraisch sein sollen.
>
> Algebraisch heißt ja, dass sowohl a als auch b eine
> Polynomgleichung [mm]a_1 X^0[/mm] + ... + [mm]a_n X^n[/mm] = 0 auf
> nicht-triviale Weise erfüllen. Allerdings weiß ich damit
> noch nichts groß anzufangen.
Damit kommt man auch nicht weiter.
> Kann mir hier vielleicht jemand helfen das zu zeigen?
Die Idee ist folgende: du schaust dir den Unterkoerper $K[a, b]$ von $L$ an. Dies ist eine endliche Erweiterung von $K$ (warum?). Was kannst du jetzt ueber $a + b, a [mm] \cdot [/mm] b [mm] \in [/mm] K[a, b]$ aussagen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Leader |
OK, dann sind a+b und a*b auch endliche Erweiterungen (man kann sie als Vereinigung zweier endlicher Körper sehen und diese Vereinigung ist wieder endlich).
Aber geht jetzt der Schluss: Wenn a+b und a*b endlich sind, dann sind sie algebraisch? Ich dachte man kann nur die umgekehrte Aussage treffen.
mfg,
Leader.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mi 21.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> OK, dann sind a+b und a*b auch endliche Erweiterungen (man
> kann sie als Vereinigung zweier endlicher Körper sehen und
> diese Vereinigung ist wieder endlich).
Du wirfst hier einiges durcheinander: $a+b$ und $a*b$ sind Elemente eines Koerpers, und keine Erweiterung (und insb. keine endlichen Erweiterungen)!
Und Vereinigungen zweier Koerper sind selten wieder Koerper; das gilt nur dann, wenn der eine bereits den anderen enthaelt (genau das gleiche Resultat gilt auch fuer Gruppen und Vektorraeume; gerade bei Vektorraeumen sieht man es sehr schnell).
Und endliche Koerper meinst du hier sicher auch nicht, hoechstens endliche Koerpererweiterungen.
> Aber geht jetzt der Schluss: Wenn a+b und a*b endlich sind,
> dann sind sie algebraisch? Ich dachte man kann nur die
> umgekehrte Aussage treffen.
Was meinst du mit `endlich'? Das sind Elemente. Die koennen nicht endlich oder unendlich sein. Koerpererweiterungen dagegen koennen sehr wohl endlich oder unendlich sein.
LG Felix
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