Algebra- was zu zeigen? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich soll zeigen, dass [mm] D^k [/mm] (X) (k-mal differenzierbaren funktionen) und [mm] C^k [/mm] (X) (k-mal stetig differenzierbaren Funktionen) Algebren über [mm] \IR [/mm] sind. |
Ich habe in Wiki nachgeschlagen was algebra bedeutet:
Eine ALgebra A über einen Körper K ist ein K-Vektorraum mit einer k-billinearen Verknüpfung A [mm] \times [/mm] A -> A
d.h. (x+y) z= xz + yz, x(y+z)=xy+xz, [mm] \lambda [/mm] (xy)= [mm] (\lambda [/mm] x) y = x [mm] (\lambda [/mm] y)
Ich weiß aus dem 1 Semester, dass der Funktionenraum eine Algebra ist mit der verknüpfungen:
(f + g) (x) = f(x) + g(x) für alle x [mm] \in [/mm] A und
[mm] (\alpha \cdot [/mm] f) (x) = [mm] \alpha \cdot [/mm] f(x) für alle x [mm] \in [/mm] A.
(f * g) (x) = f(x) * g(x) für alle x [mm] \in [/mm] A
Außerdem weiß ich dass Summe, Differenz und Produkt stetiger Funktionen ist eine stetige Funktion.
Wenn f in [mm] x_0 [/mm] stetig und verschieden von Null ist, dann ist auch 1/f stetig in [mm] x_0 [/mm]
Dasselbe gilt für differenzierbare Funktionen.
Ich verstehe nicht ganz was ich zeigen muss.
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Es geht wirklich nur darum, die o.a. Eigenschaften "zu erwähnen". Es fehlt noch das Distributivgesetz. Wichtig war das Erwähnen der Abgeschlossenheit.
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Das Distributiv gesetzt steht doch gleich am anfang?
>(x+y) z= xz + yz, x(y+z)=xy+xz
ich weiß jedoch noch immer nicht was genau zu zeigen ist. Mir fehlt total die Struktur, was abzuarbeiten ist..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Do 28.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Das Distributiv gesetzt steht doch gleich am anfang?
> >(x+y) z= xz + yz, x(y+z)=xy+xz
>
> ich weiß jedoch noch immer nicht was genau zu zeigen ist.
> Mir fehlt total die Struktur, was abzuarbeiten ist..
Du sollst einfach nur zeigen, dass Summen, skalare Viefache und Produkte von k-mal (stetig) differenzierbaren Funktionen wieder k-mal (stetig) differenzierbar sind.
FRED
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Du hast das Distributivgesetz allgemein hingeschrieben und musst auch noch zeigen, dass es für Funktionen gilt (ich sehe keine Zeile mit 3 Funktionen, immer nur mit f und g).
Aber auch das ist nur ein "Hinschreiber". Der Aufgabensteller verlangt nur von dir, dass du dir der Eigenschaften bewusst wirst, denn sie sind hier trivial, aber nicht selbstverständlich.
Hier mal ein Gegenbeispiel: Das Skalarprodukt von Vektoren ist NICHT Assoziativ. [mm] (\vec{a}\vec{b})\vec{c} [/mm] ist i.A. nicht das selbe wie [mm] \vec{a}(\vec{b}\vec{c}). [/mm] Denn das Skalarprodukt ergibt eine Zahl, somit ist [mm] (\vec{a}\vec{b})\vec{c}=r*\vec{c}, [/mm] aber [mm] \vec{a}(\vec{b}\vec{c})=\vec{a}*s, [/mm] und wenn [mm] \vec{c} [/mm] und [mm] \vec{a} [/mm] nicht parallel sind und r und s nicht 0, können die Ergebnisse nicht gleich sein.
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