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Hallo!
Ich habe gerade bei Wikipedia etwas gelesen, und würde gerne wissen warum das so ist:
Der Lösungsraum eines inhomogenen linearen Gleichungssystems in n Variablen über dem Körper K ist ein affiner Unterraum von [mm]K^n[/mm].
Kann mir jemand diese Frage beantworten?
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Hallo JSchmoeller,
> Hallo!
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> Ich habe gerade bei Wikipedia etwas gelesen, und würde
> gerne wissen warum das so ist:
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> Der Lösungsraum eines inhomogenen linearen
> Gleichungssystems in n Variablen über dem Körper K ist ein
> affiner Unterraum von [mm]K^n[/mm].
>
> Kann mir jemand diese Frage beantworten?
Du weißt sicher, dass sich die Lösungsgesamtheit eines inhomogenen LGS zusammensetzt aus der allg. Lösung der zugehörigen homogenen LGS und einer speziellen/partikulären Lösung des inhomogenen LGS
Die Lösungsgesamtheit des zugeh. homogenen LGS bildet bekanntlich einen Unterraum des [mm] $\mathbb{K}^n$, [/mm] hinzuaddiert wird der Lösungsvektor, der die spezielle Lösung des inhomogenenen LGS bildet, also
[mm] $\mathbb{L}_{\text{inh}}=\vec{x}_{\text{speziell}} [/mm] \ + \ [mm] \mathbb{L}_{\text{hom}}$
[/mm]
Und das ist ersichtlich ein affiner Unterraum des [mm] $\mathbb{K}^n$
[/mm]
Bedenke, dass der Nullvektor immer in der Lösungsgesamtheit für das zugeh. homogene LGS drinsteckt, aber nicht im inhomogenen LGS
LG
schachuzipus
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> Du weißt sicher, dass sich die Lösungsgesamtheit eines
> inhomogenen LGS zusammensetzt aus der allg. Lösung der
> zugehörigen homogenen LGS und einer speziellen/partikulären
> Lösung des inhomogenen LGS
hmmm...das ist mir nicht so klar. Ich dachte, ein homogenes Gleichungssystem hat genau so viele Gleichungen wie Unbekannte, und ein inhomogenes ist entweder unter- oder überbestimmt..?
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Hallo nochmal,
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> > Du weißt sicher, dass sich die Lösungsgesamtheit eines
> > inhomogenen LGS zusammensetzt aus der allg. Lösung der
> > zugehörigen homogenen LGS und einer speziellen/partikulären
> > Lösung des inhomogenen LGS
>
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> hmmm...das ist mir nicht so klar. Ich dachte, ein homogenes
> Gleichungssystem hat genau so viele Gleichungen wie
> Unbekannte, und ein inhomogenes ist entweder unter- oder
> überbestimmt..?
Nein, homogen heißt einfach, dass die rechte Seite der Gleichung 0 (der Nullvektor) ist, also sowas wie [mm] $A\cdot{}\vec{x}=\vec{0}$
[/mm]
inhomogen heißt, die rechte Seite ist beliebig, also [mm] $A\cdot{}\vec{x}=\vec{b}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Ahh, dann ists mir klar geworden. Vielen Dank!
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