Affine Geometrie < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:55 Sa 21.01.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | der Unterraum N ist durch folgende affine Hülle gegeben:
[mm] \vektor{1\\2\\3\\2 \\ 1}, \vektor{2\\2\\5\\2 \\ 2}, \vektor{0\\0\\3\\4 \\ 1}, \vektor{1\\3\\1\\2 \\ 2}, \vektor{1\\1\\3\\4\\ 3}
[/mm]
Gib die Dimension von N an.
Gib das Gleichungssystem mit Lösungsmenge N an. |
hallo leute.
könnte mir jemand bei dieser aufgabe weiterlefen?
bei der dimension nehm ich mir einfach einen fixpunkt und zieh ihn von allen anderen ab. dann schau ich, ob meine restlichen 4 "richtungsvektoren l.u. sind oder?
wie geh ich aber beim Gleichungssystem vor?
danke im voraus
grüße
felix
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> der Unterraum N ist durch folgende affine Hülle gegeben:
> [mm]\vektor{1\\
2\\
3\\
2 \\
1}, \vektor{2\\
2\\
5\\
2 \\
2}, \vektor{0\\
0\\
3\\
4 \\
1}, \vektor{1\\
3\\
1\\
2 \\
2}, \vektor{1\\
1\\
3\\
4\\
3}[/mm]
>
> Gib die Dimension von N an.
> Gib das Gleichungssystem mit Lösungsmenge N an.
> hallo leute.
> könnte mir jemand bei dieser aufgabe weiterlefen?
> bei der dimension nehm ich mir einfach einen fixpunkt und
> zieh ihn von allen anderen ab. dann schau ich, ob meine
> restlichen 4 "richtungsvektoren l.u. sind oder?
Hallo,
ja, und wenn sie nicht unabhängig sind, bestimmst Du eine Basis [mm] B=(b_1,...,b_k) [/mm] des von ihnen erzeugten VRes.
Nennen wir Deinen Fixpunkt [mm] P_0.
[/mm]
Du weißt dann: [mm] AH($\vektor{1\\2\\3\\2 \\ 1}, \vektor{2\\2\\5\\2 \\ 2}, \vektor{0\\0\\3\\4 \\ 1}, \vektor{1\\3\\1\\2 \\ 2}, \vektor{1\\1\\3\\4\\ 3}$)=\overrightrrow{0P}+ LH(b_1,...,b_k)
[/mm]
> wie geh ich aber beim Gleichungssystem vor?
Tip: das gesuchte GS ist ein inhomogenes LGS. [mm] \overrigtrrow{0P} [/mm] ist eine spezielle Lösung, und [mm] LH(b_1,...,b_k) [/mm] der Kern des zugehörigen homogenen Systems.
Du kannst es finden, indem Du in
[mm] \vektor{x_1\\vdots\\x_5}=\overrightrrow{0P}+ \lambda_1b_1+...+\lambda_kb_k
[/mm]
die [mm] \lambda_i [/mm] eliminierst.
LG Angel
>
> danke im voraus
>
> grüße
> felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:26 So 22.01.2012 | | Autor: | fe11x |
danke für die antwort.
wenn ich das richtig verstanden habe schaut mein LGS so aus.
(x1.....x5)=Fixpunkt( welcher für die inhmogene lösung steht) + meine linear unabgängigen richtungsvektoren die vom fixpunkt ausgehen, nur mit veränderten vorzeichen?
grüße
felix
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> danke für die antwort.
>
> wenn ich das richtig verstanden habe schaut mein LGS so
> aus.
>
> (x1.....x5)=Fixpunkt( welcher für die inhmogene lösung
> steht) + meine linear unabgängigen richtungsvektoren die
> vom fixpunkt ausgehen, nur mit veränderten vorzeichen?
Hallo,
ich weiß nicht, warum Du die Vorzeichen ändern willst - schaden tut es freilich nicht.
Die [mm] \lambda_i [/mm] sind die Linearfaktoren. Wie bei Ebenengleichungen in Parameterform in der Schule.
LG Angela
>
> grüße
> felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 08:59 So 22.01.2012 | | Autor: | fe11x |
hallo
die vorzeichen würd ich deswegen ändern, da ich ja quasi einen annulatorraum suche, da muss man aber die vorzeichen ändern.
ich bin jetzt etwas verwrirrt.
könntest du ein bsp geben mit einer einfachen linearen hülle und einem daraus resultierenden einfachen LGS?
grüße
felix
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> hallo
>
> die vorzeichen würd ich deswegen ändern, da ich ja quasi
> einen annulatorraum suche, da muss man aber die vorzeichen
> ändern.
>
> ich bin jetzt etwas verwrirrt.
> könntest du ein bsp geben mit einer einfachen linearen
> hülle und einem daraus resultierenden einfachen LGS?
>
Hallo,
ehrlich gesagt habe ich keine Lust, ein Beispiel vorzurechnen - nicht zuletzt wegen der Tipperei.
Warum fängst Du nicht mal mit der Aufgabe an?
Hast Du jetzt schon die linear unabhängigen Vektoren des zur affinen Hülle gehörenden Raumes bestimmt?
Die Parameterform aufgestellt?
Meinetwegen kannst Du Dir auch ein kleineres beispiel ausdenken und da erstmal so weit machen, wie Du kommst.
Wie auch immer: ich würde bevorzugen, daß DU etwas tust, und wir gucken zu und helfen ggf.
LG Angela
> grüße
> felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 So 22.01.2012 | | Autor: | fe11x |
hallo
ja das verstehe ich vollkommen
bin auch schon mitten im rechnen.
ich hab mal so begonnen:
1) hab einen fixpunkt gewählt.
dann hab ich mir alle 4 richtungsvekoren ausgerechnet.
jetzt bin ich gerade dabei das ich kontrolliere ob sie linear unabhängig sind.
wenn mir da jetzt ein vektor rausfällt, weil er l.a. ist. wie gehe ich dann vor?
nehme ich dann einfach einen richtungsvektor raus oder rechne ich einfach mit der linearen hülle, die ich durch das eliminationsverfahren erhalte?
verstehst du was ich meine?
grüße
felix
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> hallo
>
> ja das verstehe ich vollkommen
Hallo,
da bin ich froh.
>
> bin auch schon mitten im rechnen.
Gut.
> ich hab mal so begonnen:
>
> 1) hab einen fixpunkt gewählt.
> dann hab ich mir alle 4 richtungsvekoren ausgerechnet.
> jetzt bin ich gerade dabei das ich kontrolliere ob sie
> linear unabhängig sind.
> wenn mir da jetzt ein vektor rausfällt, weil er l.a. ist.
> wie gehe ich dann vor?
> nehme ich dann einfach einen richtungsvektor raus oder
> rechne ich einfach mit der linearen hülle, die ich durch
> das eliminationsverfahren erhalte?
>
> verstehst du was ich meine?
Vielleicht.
Aber: schau, Du erzählst hier eine lange Rechenstory.
Zeig doch einfach, was Du ausgerechnet hast.
Dann kann man Dir ganz konkret weiterhelfen und hat nicht die Gefahr von Mißverständnissen.
Daß Du eine basis finden kannst, indem Du die Matrix, die die verbindungsvektoren in ihren Spalten enthält, aus ZSF bringst, weiß Du?
Für Fixpunkt, Matrix und ZSF würde ich mich interessieren, dann kann ich zeigen, wie es weitergeht.
LG Angela
>
> grüße
> felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 So 22.01.2012 | | Autor: | fe11x |
nun gut.
ich hab mal diese vektoren genommen.
$ [mm] \vektor{1\\2\\3\\2 \\ 1}, \vektor{2\\2\\5\\2 \\ 2}, \vektor{0\\0\\3\\4 \\ 1}, \vektor{1\\3\\1\\2 \\ 2}, \vektor{1\\1\\3\\4\\ 3} [/mm] $
dann hab ich die gleichng für den affinen raum aufgestellt:
[mm] \vektor{1\\2\\3\\2\\ 1} [/mm] + a* [mm] \vektor{1\\0\\2\\0\\ 1} [/mm] + b* [mm] \vektor{-1\\-2\\0\\2\\ 0} [/mm] + c* [mm] \vektor{0\\1\\-2\\0\\ 1} [/mm] + d* [mm] \vektor{0\\-1\\0\\2\\ 1}
[/mm]
jetzt hab ich mir mal angesehen ob diese 4 richtungsvektoren l.u sind
bei mir kommt raus das sie es sind. ich hoffe ich hab richtig umgeformt.
wie wärs in dem fall wenn einer wegfallen würde.
könnte ich dann einfach einen aus meiner gleichung streichen und mit den drei anderen weiter rechnen oder rechne ich dann mit den vektoren, die aus meiner umformung kommen weiter? das würd mich interessiren.
grüße felix
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> nun gut.
>
> ich hab mal diese vektoren genommen.
> [mm]\vektor{1\\
2\\
3\\
2 \\
1}, \vektor{2\\
2\\
5\\
2 \\
2}, \vektor{0\\
0\\
3\\
4 \\
1}, \vektor{1\\
3\\
1\\
2 \\
2}, \vektor{1\\
1\\
3\\
4\\
3}[/mm]
>
> dann hab ich die gleichng für den affinen raum
> aufgestellt:
>
> [mm]\vektor{1\\
2\\
3\\
2\\
1}[/mm] + a* [mm]\vektor{1\\
0\\
2\\
0\\
1}[/mm] + b*
> [mm]\vektor{-1\\
-2\\
0\\
2\\
0}[/mm] + c* [mm]\vektor{0\\
1\\
-2\\
0\\
1}[/mm] +
> d* [mm]\vektor{0\\
-1\\
0\\
2\\
1}[/mm]
>
> jetzt hab ich mir mal angesehen ob diese 4
> richtungsvektoren l.u sind
> bei mir kommt raus das sie es sind. ich hoffe ich hab
> richtig umgeformt.
Hallo,
bei mir sind sie auch linear unabhängig - ohne Gewähr.
> wie wärs in dem fall wenn einer wegfallen würde.
> könnte ich dann einfach einen aus meiner gleichung
> streichen und mit den drei anderen weiter rechnen oder
> rechne ich dann mit den vektoren, die aus meiner umformung
> kommen weiter? das würd mich interessiren.
Nehmen wir die Vektoren
[mm] b_1:=\vektor{1\\2\\3},b_2:=\vektor{2,4,6},b_3:=\vektor{1\\1\\1}, b_4:=\vektor{7\\12\\17}.
[/mm]
Wir wollen eine Basis des von ihnen aufgespnnten Raumes wissen.
[mm] b_1 [/mm] ist linear unabhängig.
[mm] b_1, b_2 [/mm] ist linear abhängig. [mm] b_2 [/mm] fliegt raus.
[mm] b_1, b_3 [/mm] ist linear unabhängig
[mm] b_1, b_3, b_4 [/mm] ist linear abhängig, [mm] b_4 [/mm] fliegt raus.
[mm] (b_1, b_3) [/mm] ist eine Basis der linearen Hülle von [mm] b_1, b_2, b_3, b_4.
[/mm]
Oder halt mit der Matrix und ZSF arbeiten. Das muß man können!
LG Angela
>
> grüße felix
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 So 22.01.2012 | | Autor: | fe11x |
okay ich glaub ich habs raus
also ich kann mir aussuchen ob ich meinen affinen raum einfach mit den vektoren b1 und b3 aufspanne, oder mit der umgeformten matrix die bei mir wie folgt aussieht:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 }
[/mm]
ob ich diese matrix nehme, oder einfach nur die beiden vektoren ist ja völlig egal oder?
eine kleine frage hätte ich noch:
wenn ich einen affinen raum in form eines LGS gegeben habe:
x1 - 2x3 + x5 =0
2x2+ x3 -x4 -x5 =1
dann forme ich einfach um, sodass vorne die 2x2 einheitsmatrix steht, suche mir den lösungsraum, und nehme den lösungsvetor der hier (0,1) ist als startpunkt.
wenn ich dann einen zweiten affinen raum gegeben habe, der eine gerade ist und ich die basis des schnitts berechen soll, dann setze ich einfach gleich und rechne aus oder?
grüße felix
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> okay ich glaub ich habs raus
>
> also ich kann mir aussuchen ob ich meinen affinen raum
> einfach mit den vektoren b1 und b3 aufspanne, oder mit der
> umgeformten matrix die bei mir wie folgt aussieht:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
1 & 1 \\
2 & 1 }[/mm]
Hallo,
mit Matrizen kann man keinen Raum, der Teilmenge des [mm] \IR^3 [/mm] ist, aufspannen.
Aber in den beiden Spalten Deiner Matrix stehen die Vektoren, die Du als Basis für den aufgespannten Raum nehmen kannst.
>
> ob ich diese matrix nehme, oder einfach nur die beiden
> vektoren ist ja völlig egal oder?
s.o.
>
>
> eine kleine frage hätte ich noch:
>
> wenn ich einen affinen raum in form eines LGS gegeben
> habe:
>
> x1 - 2x3 + x5 =0
> 2x2+ x3 -x4 -x5 =1
Setz Indizes, man kann das dann besser lesen. Geht mit einem Unterstrich.
>
> dann forme ich einfach um, sodass vorne die 2x2
> einheitsmatrix steht, suche mir den lösungsraum, und nehme
> den lösungsvetor der hier (0,1) ist als startpunkt.
Warum machst Du es nicht vor?
Was Du mit "Lösungsvektor (0,1) " meinst, weiß ich nicht.
Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind doch aus dem [mm] \IR^5.
[/mm]
>
> wenn ich dann einen zweiten affinen raum gegeben habe, der
> eine gerade ist und ich die basis des schnitts berechen
> soll, dann setze ich einfach gleich und rechne aus oder?
Gleichsetzen und ausrechnen ist gut. Man muß es halt richtig machen.
Du kommst mit diesem allgemeinen Geschwafel auf keinen grünen Zweig.
Tu die Dinge einfach!
LG Angela
>
> grüße felix
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 So 22.01.2012 | | Autor: | fe11x |
gut dann werd ich das mal ausformulieren wie ich es gerechnet habe :)
ein unterraum N ist gegeben durch folgendes gleichungssystem:
[mm] x_1 -2x_3 +x_5 [/mm] =0
[mm] 2x_2+ x_3 -x_4 -x_5 [/mm] =1
ich forme das ganze mal um auf diese form:
[mm] x_1 -2x_3 +x_5 [/mm] =0
[mm] 1x_2+ 0.5x_3 -0.5x_4 -0.5x_5 [/mm] =0.5
jetzt habe ich wenn man sich das als matrix vorstellt, vorne eine 2x2 Einheitsmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0.5}
[/mm]
das bedeutet, die lösung des gleichungssystems ist folgender unterraum:
[mm] \vektor{0 \\ 0.5 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + Lineare Hülle von: [mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 \\ -0.5 &0.5 & -0.5 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
und genau das ist der gesuchte affine raum oder?
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> gut dann werd ich das mal ausformulieren wie ich es
> gerechnet habe :)
Hallo,
fein!
Und die Indizes klappen auch.
>
> ein unterraum N ist gegeben durch folgendes
> gleichungssystem:
>
>
> [mm]x_1 -2x_3 +x_5[/mm] =0
> [mm]2x_2+ x_3 -x_4 -x_5[/mm] =1
>
> ich forme das ganze mal um auf diese form:
>
> [mm]x_1 -2x_3 +x_5[/mm] =0
> [mm]1x_2+ 0.5x_3 -0.5x_4 -0.5x_5[/mm] =0.5
>
> jetzt habe ich wenn man sich das als matrix vorstellt,
Man stellt es sich nicht nur vor, Du kannst es als Matrixgleichung schreiben und tust da sja auch.
> vorne eine 2x2 Einheitsmatrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -2 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0.5 & -0.5 & 0.5}[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0.5}[/mm]
>
> das bedeutet, die lösung des gleichungssystems ist
> folgender unterraum:
>
> [mm]\vektor{0 \\
0.5 \\
0 \\
0 \\
0}[/mm] + Lineare Hülle von:
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 1 \\
-0.5 &0.5 & -0.5 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1}[/mm]
>
> und genau das ist der gesuchte affine raum oder?
>
Fast. Du darfst nicht LH(Matrix) schreiben. das wäre etwas völlig anderes und in diesem Zusammenhang komplett sinnlos.
Du mußt die drei Vektoren hinschreiben und nicht die Matrix!
Abgesehen davon ist es der gesuchte affine Raum.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 So 22.01.2012 | | Autor: | fe11x |
gut ich habs verstanden! juhuu :)
herzlichen dank für die viele mühe die du dir gegeben hast, mir zu helfen.
es hat mir sehr sehr viel geholfen!
mfg
Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 So 22.01.2012 | | Autor: | fe11x |
hallo noch mal
jetzt habe ich noch eine frage. tut mir leid das ich nochmal störe.
das eigentliche thema der frage war, das ich zu meinem affinen raum, ein LGS suche, das den affinen raum als lösung hat.
der affine raum ist gegeben durch:
[mm] \vektor{1\\2\\3\\2\\ 1} [/mm] + a* [mm] \vektor{1\\0\\2\\0\\ 1} [/mm] + b* [mm] \vektor{-1\\-2\\0\\2\\ 0} [/mm] + c* [mm] \vektor{0\\1\\-2\\0\\ 1} [/mm] + d* [mm] \vektor{0\\-1\\0\\2\\ 1}
[/mm]
wie stell ich jetzt da schnell nochmal das LGS auf?
ich hab immer von LGS auf gleichung geschlossen, den rückweg aber noch nicht.
ich hab versucht, dass ich durch umformung der richtungsvektoren, eine teil-einheitsmatrix bekomme. die sieht so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ }
[/mm]
wie sieht da jetzt das LGS aus? mir macht es probleme, das die einheitsmatrix nicht komplett dasteht, sondern das dazwischen eine ander zeile ist.
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> hallo noch mal
>
> jetzt habe ich noch eine frage. tut mir leid das ich
> nochmal störe.
>
> das eigentliche thema der frage war, das ich zu meinem
> affinen raum, ein LGS suche, das den affinen raum als
> lösung hat.
>
> der affine raum ist gegeben durch:
>
> [mm]\vektor{1\\
2\\
3\\
2\\
1}[/mm] + a* [mm]\vektor{1\\
0\\
2\\
0\\
1}[/mm] + b* [mm]\vektor{-1\\
-2\\
0\\
2\\
0}[/mm] + c* [mm]\vektor{0\\
1\\
-2\\
0\\
1}[/mm] + d* [mm]\vektor{0\\
-1\\
0\\
2\\
1}[/mm]
>
Hallo,
wie anfangs geschrieben:
[mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_5}=$\vektor{1\\2\\3\\2\\ 1}$ [/mm] + a* [mm] $\vektor{1\\0\\2\\0\\ 1}$ [/mm] + b* [mm] $\vektor{-1\\-2\\0\\2\\ 0}$ [/mm] + c* [mm] $\vektor{0\\1\\-2\\0\\ 1}$ [/mm] + d* [mm] $\vektor{0\\-1\\0\\2\\ 1}$
[/mm]
> wie stell ich jetzt da schnell nochmal das LGS auf?
Ob' schnell genug geht, weißt nur Du...
Obiges liefert Dir 5 Gleichungen mit [mm] x_1,...,x_5, [/mm] a,b,c,d, aus welchen Du a,b,c,d eliminieren kannst.
Die verbleibenden Gleichungen haben nur [mm] x_1,...,x_5 [/mm] und bilden das LGS, welches Du suchst bzw. ein LGS mit der gewünschten Eigenschaft.
Die andere Lösungsmöglichkeit, die ich noch anzubieten hätte, hängt mit der red. ZSF zusammen, die schaffe ich aber im Moment nicht mehr mitzuteilen, weil ich "eigentlich" schon fort bin.
LG Angela
> ich hab immer von LGS auf gleichung geschlossen, den
> rückweg aber noch nicht.
>
> ich hab versucht, dass ich durch umformung der
> richtungsvektoren, eine teil-einheitsmatrix bekomme. die
> sieht so aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 \\
3 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1\\
}[/mm]
>
> wie sieht da jetzt das LGS aus? mir macht es probleme, das
> die einheitsmatrix nicht komplett dasteht, sondern das
> dazwischen eine ander zeile ist.
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