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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Do 23.08.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] M=\bruch{1}{40}\pmat{ -32 & -24 \\ -24 & 32 } [/mm] beschreibt die Spiegelung an einer Geraden g, so dass M der Spiegelung [mm] S_g [/mm] entspricht.
a) Bestimme rechnerisch die Gerade [mm] S_g, [/mm] so dass M der Spiegelung [mm] S_g [/mm] entspricht
b) [mm] N=\pmat{ cos(60 & sin(60) \\ -sin(60) & cos(60) }=\bruch{1}{2}\pmat{ 1 & -\wurzel{3} \\ \wurzel{3} & 1 } [/mm] entspricht der Drehung um [mm] 0=\vektor{0 \\ 0} [/mm] von 60 Grad.
Eine Drehung kann man als Kompositum von 2 Geradenspiegelungen darstellen.
Welche Matrix L entspricht der zweiten geradenspiegelung , so dass ML=N gilt? |
Könnt ihr mir erklären wie man mit affinen Abbildungen rechnet? Das war mir bisher nie klar!
Ich habe hier 2 Klausuraufgaben gewählt, vielleicht könnt ihr mir etwas auf die Sprünge helfen wie ich die Aufgaben lösen kann. Ich habe keine Idee für einen Lösungsansatz!
LG
heinze
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> [mm]M=\bruch{1}{40}\pmat{ -32 & -24 \\ -24 & 32 }[/mm] beschreibt
> die Spiegelung an einer Geraden g, so dass M der Spiegelung
> [mm]S_g[/mm] entspricht.
Hinweis: man kann die Matrix einfacher darstellen (kürzen !)
> a) Bestimme rechnerisch die Gerade [mm]S_g,[/mm] so dass M der
> Spiegelung [mm]S_g[/mm] entspricht
>
> b) [mm]N=\pmat{ cos(60 & sin(60) \\ -sin(60) & cos(60) }=\bruch{1}{2}\pmat{ 1 & -\wurzel{3} \\ \wurzel{3} & 1 }[/mm]
> entspricht der Drehung um [mm]0=\vektor{0 \\ 0}[/mm] von 60 Grad.
>
> Eine Drehung kann man als Kompositum von 2
> Geradenspiegelungen darstellen.
>
> Welche Matrix L entspricht der zweiten Geradenspiegelung ,
> so dass ML=N gilt?
> Könnt ihr mir erklären wie man mit affinen Abbildungen
> rechnet? Das war mir bisher nie klar!
Hallo heinze,
Falls M wirklich eine Geradenspiegelung darstellt, so enthält
die Spiegelachse genau jene Punkte, welche auf sich selber
abgebildet werden. Du kannst g also finden, wenn du die
Eigenvektoren von M bestimmst.
Wenn ML=N gelten soll, so kann man diese Gleichung nach L
auflösen, indem man beide Seiten der Gleichung von links
mit der zu M inversen Matrix [mm] M^{-1} [/mm] multipliziert.
Oder ist dir das Rechnen mit Matrizen etwa gar nicht vertraut ?
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Do 23.08.2012 | | Autor: | heinze |
das Rechnen mit Matrizen sollte kein Problem sein. Mein Problem liegt mehr bei Aufgabenteil a)
Dann wären die Eigenwerte [mm] \pm \bruch{4}{5}
[/mm]
Nur wie kriege ich jetzt daraus eine Gerade?
LG
heinze
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Hallo heinze,
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> Dann wären die Eigenwerte [mm]\pm \bruch{4}{5}[/mm]
>
die Eigenwerte sollten -1 und 1 sein, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
> Nur wie kriege ich jetzt daraus eine Gerade?
>
Eine Möglichkeit, um die gesuchte Gerade zu bestimmen, ist:
Bestimme zwei Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2, [/mm] z.B. [mm] P_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] P_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Berechne die Spiegelungen dieser Punkte: [mm] P_1' [/mm] = [mm] M*P_1 [/mm] = [mm] \vektor{- 0.8 \\ - 0.6} [/mm] sowie [mm] P_2' [/mm] = [mm] M*P_2 [/mm] = [mm] \vektor{- 0.6 \\ 0.8}
[/mm]
Berechne die Mittelpunkte der Strecken [mm] \overline{P_1 P_1'} [/mm] und [mm] \overline{P_2 P_2'}: [/mm]
[mm] M_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(P_1 [/mm] + [mm] P_1') [/mm] = [mm] \vektor{0.1 \\ - 0.3} [/mm] sowie [mm] M_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(P_2 [/mm] + [mm] P_2') [/mm] = [mm] \vektor{- 0.3 \\ - 0.9}
[/mm]
Die gesuchte Spiegelungsgerade ist dann genau die Verbindungsgerade von [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2.
[/mm]
Schöne Grüße
franzzink
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Sa 25.08.2012 | | Autor: | heinze |
http://www.matheforum.net/read?i=909032
Ich habe diesen Link mal eingefügt, da für die Aufgabe nur die Rechenweisen aus dem Skript unserer Vorlesung verwendet werden sollen.
Daher ist mir noch nicht so recht klar, wie ich die Gerade aufstellen soll.
Gibt es noch eine andere Möglichkeit zur Berechnung?
Es geht hier um die Spiegelung einer Geraden die durch den Ursprung verläuft. Eigentlich beschreibt doch die folgende Matrix dieses:
[mm] A=\pmat{ cos(2\alpha) & sin(2\alpha) \\ sin(2\alpha) & -cos(2\alpha) }
[/mm]
LG
heinze
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> http://www.matheforum.net/read?i=909032
>
> Ich habe diesen Link mal eingefügt, da für die Aufgabe
> nur die Rechenweisen aus dem Skript unserer Vorlesung
> verwendet werden sollen.
>
> Daher ist mir noch nicht so recht klar, wie ich die Gerade
> aufstellen soll.
> Gibt es noch eine andere Möglichkeit zur Berechnung?
>
> Es geht hier um die Spiegelung einer Geraden die durch den
> Ursprung verläuft. Eigentlich beschreibt doch die folgende
> Matrix dieses:
>
> [mm]A=\pmat{ cos(2\alpha) & sin(2\alpha) \\ sin(2\alpha) & -cos(2\alpha) }[/mm]
Ja, wenn du willst, kannst du doch deine gegebene Matrix M
problemlos auf diese Form bringen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 So 26.08.2012 | | Autor: | heinze |
Kannst du mir erklären WIE ich das mache?
Dann hätte ich die Abbildungsmatrix. Ich bräuchte aber noch einen Punkt und einen Ortsvektor. Das ist mir bei dieser Aufgabe mit gegebener Matrix noch unklar!
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 So 26.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du weisst was [mm] cos(2\alpha) [/mm] und [mm] sin(2\alpha) [/mm] ist, daraus bestimmt sich [mm] 2\alpha [/mm] und damit [mm] \alpha, [/mm] oder mit den additinstheoremen direkt sin˜alpha und [mm] cos(\alpha) [/mm] und da es eine ursprungsgerade ist, an der gespiegelt wird kannst du sie dann hinschreiben.
als punkt hast du doch (0,0) und einen richtungsvektor durch /alpha
Gruss leduart
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> Kannst du mir erklären WIE ich das mache?
>
> Dann hätte ich die Abbildungsmatrix. Ich bräuchte aber
> noch einen Punkt und einen Ortsvektor. Das ist mir bei
> dieser Aufgabe mit gegebener Matrix noch unklar!
>
> LG
> heinze
Deine gegebene Matrix M war doch:
$\ [mm] M=\pmat{-0.8 & -0.6 \\ -0.6 & 0.8 } [/mm] $
Ferner weißt du, dass die Spiegelung an einer Ursprungsge-
raden (mit Steigungswinkel [mm] \alpha) [/mm] die Form
[mm] $\pmat{ cos(2\alpha) & sin(2\alpha) \\ sin(2\alpha) & -cos(2\alpha) } [/mm] $
haben muss. Um diese Matrizen zur Übereinstimmung zu
bringen, sollte also [mm] cos(2\,\alpha)=-0.8 [/mm] und [mm] sin(2\,\alpha)=-0.6
[/mm]
sein.
Daraus kann man [mm] \alpha [/mm] bestimmen (nur eine der
vielen möglichen Lösungen genügt).
Da [mm] \alpha [/mm] der Steigungswinkel der gesuchten Ursprungs-
geraden ist, kann man deren Gleichung dann z.B. in der
Form [mm] y=x*tan(\alpha) [/mm] schreiben.
Übrigens ist [mm] tan(\alpha) [/mm] eindeutig bestimmt.
Du hättest aber, wie vorher besprochen, auch so vorgehen
können:
1.) die Spiegelgerade geht durch den Nullpunkt (0|0)
2.) um irgendeinen weiteren Punkt der Spiegelgeraden
zu finden, suche ein beliebiges nichttriviales Lösungspaar
(x|y) der Gleichung [mm] $M*\pmat{x\\y}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x\\y}$ [/mm]
LG Al-Chw.
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ich bin grad auf diesen Beitrag gestoßen und habe die [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] auch so erhalten.
Kann ich dann [mm] \vektor{0,1 \\ -0,3}+\lambda\vektor{-0,4 \\ 1,2}als [/mm] Gerade angeben, die der Spiegelung [mm] S_g [/mm] entspricht?
Bei der Bestimmung der zwei Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2, [/mm] kann ich die immer frei wählen als z.B. [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] oder wie genau kommt man darauf?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> ich bin grad auf diesen Beitrag gestoßen und habe die [mm]M_1[/mm]
> und [mm]M_2[/mm] auch so erhalten.
>
> Kann ich dann [mm]\vektor{0,1 \\ -0,3}+\lambda\vektor{-0,4 \\ 1,2}als[/mm]
> Gerade angeben, die der Spiegelung [mm]S_g[/mm] entspricht?
>
Ja.
> Bei der Bestimmung der zwei Punkte [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2,[/mm] kann ich
> die immer frei wählen als z.B. [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] oder wie genau kommt man darauf?
>
Die Punkte [mm]P_{1}[/mm] und [mm]P_{2}[/mm] kannst Du immer frei wählen.
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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> das Rechnen mit Matrizen sollte kein Problem sein. Mein
> Problem liegt mehr bei Aufgabenteil a)
>
> Dann wären die Eigenwerte [mm]\pm \bruch{4}{5}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Nur wie kriege ich jetzt daraus eine Gerade?
Anstatt von Eigenvektoren hätte ich eigentlich noch besser
von Fixpunkten gesprochen.
Suche also die Punkte $\ [mm] p=\pmat{x\\y}$ [/mm] mit $\ M*p=p$
Diese Punkte bilden zusammen die Fixgerade (=Spiegelachse) g
Es handelt sich natürlich um eine Gerade durch den Ursprung,
also mit einer Gleichung der Form $\ y=k*x$ mit einer Konstanten k.
LG Al-Chw.
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