Affine Abbildung (Hyperbel) < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:25 Mo 03.07.2006 | | Autor: | giggs |
Zu folgender Behauptung soll der (ebenfalls aufgeführte) Beweis erbracht werden, aus diesem sollte durch Anwendung einer affinen Abbildung sofort der allgemeine Fall folgen. Dies ist mir aber nicht ersichtlich.
Kann mir das jmd genauer erläutern und diese affine Abbildung angeben?
Hier Behauptung und Beweis
(1) Behauptung:
Für $ a,b [mm] \in \IR, [/mm] a, b [mm] \ne [/mm] 0, $ ist $ [mm] {(\pma cosh t, b sinh t)|t \in \IR} [/mm] $ eine Hyperbel
(2) Beweis:
Es gilt:
$ cosh t = [mm] \bruch{e^t + e^{-t}}{2}, [/mm] sinh t = [mm] \bruch{e^t - e^{-t}}{2} \Rightarrow cosh^2 [/mm] t - [mm] sinh^2 [/mm] t = 1, $
denn
$ [mm] \left( \bruch{e^t + e^{-t}}{2} \right)^2 [/mm] - [mm] \left( \bruch{e^t + e^{-t}}{2} \right)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(2e^0 [/mm] + [mm] 2e^0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} \cdot{} [/mm] 4 = 1 $.
Gilt nun $ [mm] u^2 [/mm] - [mm] v^2 [/mm] = 1 $, dann gibt es ein $ t $, so dass $ u = [mm] \pm [/mm] cosh t, v = sinh t $, dies wird sofort klar wenn mann die Graphen betrachtet. Damit ist (2) für $ a = b = 1 $ gezeigt. Durch Anwendung einer affinen Abbildung folgt sofort der allgemeine Fall.
Gruss giggs
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 11.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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