Additivität Lebesgue-Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
Sei ein Mass m wie folgt definiert:
[mm] m(I) = \produkt_{i=1}^{n} (b_i - a_i) [/mm]
auf der Menge aller Elementarmengen E in [mm]\IR^{n}[/mm].
(Das ist die Menge aller endlichen Vereinigungen von Intervallen in [mm]\IR^{n}[/mm].
2 Fragen:
1. E soll kein [mm]\sigma[/mm]-Ring sein. Ist aber bei mir einer.
Kurzer Beweis: [mm]A, B \in E \Rightarrow B \setminus A \in E[/mm] (klar)
[mm]E \not= \varnothing [/mm] (klar)
[mm]A, B \in E \Rightarrow B \cup A \in E[/mm] (klar)
Darüberhinaus müssten ja auch alle Vereinigungen von [mm]A_n[/mm] in E liegen, falls die [mm]A_n[/mm] schon in E liegen. Vermutlich liegt hier irgendwo mein Fehler.
2. Beweise, dass das m auf E additiv ist.
Das ist zwar auch logisch. Aber die Formel
[mm]m(I_1 + I_2)= \produkt_{i=1}^{n} (b_{i1} + b_{i2} - a_{i1} -a_{i2}) \not= m(I_1) +m(I_2) [/mm]
Besten Dank für eure Unterstützung.
Viele Grüße,
Crispy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei ein Mass m wie folgt definiert:
> [mm]m(I) = \produkt_{i=1}^{n} (b_i - a_i)[/mm]
> auf der Menge aller
> Elementarmengen E in [mm]\IR^{n}[/mm].
> (Das ist die Menge aller endlichen Vereinigungen von
> Intervallen in [mm]\IR^{n}[/mm].
>
> 2 Fragen:
> 1. E soll kein [mm]\sigma[/mm]-Ring sein. Ist aber bei mir einer.
> Kurzer Beweis:
> [mm]A, B \in E \Rightarrow B \setminus A \in E[/mm]
> (klar)
Das stimmt nicht. Du kannst schon fuer $n = 1$ sehr einfach Gegenbeispiele finden, etwa $A = [0, 3]$, $B = [1, 2]$ (bzw. passend halboffen oder so machen, je nachdem was ihr genau unter Elementarmengen versteht).
> [mm]E \not= \varnothing[/mm] (klar)
Ja.
> [mm]A, B \in E \Rightarrow B \cup A \in E[/mm] (klar)
Nein. Nimm $A = [0, 1]$ und $B = [2, 3]$.
> 2. Beweise, dass das m auf E additiv ist.
> Das ist zwar auch logisch. Aber die Formel
> [mm]m(I_1 + I_2)= \produkt_{i=1}^{n} (b_{i1} + b_{i2} - a_{i1} -a_{i2}) \not= m(I_1) +m(I_2)[/mm]
Denk dran, dass [mm] $I_1 [/mm] + [mm] I_2$ [/mm] nur in bestimmten Faellen wieder in $E$ liegt. Und in den Faellen passt es gerade.
LG Felix
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