Additionstheorem < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | sin(2x) = (2 [mm] tanx)/(1+(tanx)^2) [/mm] |
Man soll durch eine Rechnung zeigen, dass das gilt. Ich stehe leider total auf dem Schlauch und würde gerne einen Denkanstoß bekommen.
Hier ist, was ich schon versucht habe:
Durch Umformung des Additionstheorems sin(2x)= 2 sinx cosx
Durch Verwendung des trigonometrischen Pythagoras. Ich stecke irgendwie fest und komme nicht weiter.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> sin(2x) = (2 [mm]tanx)/(1+(tanx)^2)[/mm]
> Man soll durch eine Rechnung zeigen, dass das gilt. Ich
> stehe leider total auf dem Schlauch und würde gerne einen
> Denkanstoß bekommen.
>
> Hier ist, was ich schon versucht habe:
>
> Durch Umformung des Additionstheorems sin(2x)= 2 sinx cosx
Gut.
>
> Durch Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.
Auch gut.
Ich kürze mal ab: s:=sin(x), c:=cos(x)
Dann ist
[mm] \bruch{2tan(x)}{1+tan^2(x)}=\bruch{2 \bruch{s}{c}}{1+\bruch{s^2}{c^2}}= \bruch{2 \bruch{s}{c}}{\bruch{c^2+s^2}{c^2}}
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
> Ich
> stecke irgendwie fest und komme nicht weiter.
>
> //
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ich war sogar soweit gekommen.
Jetzt forme ich nur noch nach tanx = sinx/cosx um, aus cos^2x/cos^2x wird 1. Ok soweit.
Aber ist es OK, wenn man sozusagen das Ergebnis nimmt und dann einfach nur umformt? Denn wir haben hier ja nichts gemacht außer in dem Term, den man zeigen soll, tanx durch sinx/cosx zu ersetzen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich war sogar soweit gekommen.
>
> Jetzt forme ich nur noch nach tanx = sinx/cosx um
Hatten wir das nicht schon ?
> , aus
> cos^2x/cos^2x wird 1. Ok soweit.
>
> Aber ist es OK, wenn man sozusagen das Ergebnis nimmt und
> dann einfach nur umformt? Denn wir haben hier ja nichts
> gemacht außer in dem Term, den man zeigen soll, tanx durch
> sinx/cosx zu ersetzen ?
Welches Ergebnis ?
Ich hab mir hergenommen [mm] \bruch{2tan(x)}{1+tan^2(x)}.
[/mm]
Dann hab ich in ein schlaues Büchlein geschaut, welches mir die folgende Def. verraten hat:
[mm] tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)}.
[/mm]
Definitionen darf man doch verwenden , oder ? Definitionen muss man auch verwenden, sonst wird das mit dem Beweis nix !
Damit bin ich soweit gekommen.
$ [mm] \bruch{2tan(x)}{1+tan^2(x)}=\bruch{2 \bruch{s}{c}}{1+\bruch{s^2}{c^2}}$
[/mm]
Jetzt kommt Bruchrechnen: den Bruch im Nenner habe ich gleichnamig gemacht. Dann kommt:
[mm] \bruch{2tan(x)}{1+tan^2(x)}=\bruch{2 \bruch{s}{c}}{1+\bruch{s^2}{c^2}}= \bruch{2 \bruch{s}{c}}{\bruch{c^2+s^2}{c^2}} [/mm] .
Nun fällt uns der Grieche ein: [mm] c^2+s^2=1, [/mm] und schwupp:
[mm] \bruch{2tan(x)}{1+tan^2(x)}=\bruch{2 \bruch{s}{c}}{1+\bruch{s^2}{c^2}}= \bruch{2 \bruch{s}{c}}{\bruch{1}{c^2}} [/mm] .
Nun kommt eine Regel der Bruchrechnung: das Dividieren eines Bruches erfolgt durch Multiplikation mit dem Kehrwert.
Und wie von Zauberhand:
[mm] $\bruch{2tan(x)}{1+tan^2(x)}=2 \bruch{s}{c}*c^2=2sc$
[/mm]
Ich hätte natürlich auch von 2sin(x)cos(x) ausgehen können und folgendes veranstalten können:
$ 2sin(x) cos(x)= ....= .....= .....= .....= [mm] \bruch{2tan(x)}{1+tan^2(x)}$.
[/mm]
Tja, da tut man sich schwer, Ideen für ...., ...., und .... zu bekommen.
Da ich ein fauler Sack bin, hab ich es andersrum gemacht. Wierum Du das machst, ist völlig schnurz.
Der faule FRED
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Dass Mathematiker faul sind, habe ich schon öfter gehört :)
So leuchtet es ein, vielen Dank, FRED!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Di 09.12.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Dass Mathematiker faul sind, habe ich schon öfter gehört
> :)
Das ist aber nur die Grobansicht.
Allgemein gibt es erstmal vier große Gruppen von Mathikern:
- die Ergomathiker, die immer noch ein also/ergo dranhängen.
Sie rechnen sich gern zu Tode, auch mit maschineller Hilfe.
Man nennt sie auch Robotniks.
- die Mathophilen, die einfach gern rechnen.
Am besten formt man versuchsweise nochmal um.
Vielleicht wirds dann schöner.
- die Mathologen, die erstmal wissen wollen, warum sie etwas tun.
Ab hier dringen wir in der Bereich der Faulheit vor.
Allerdings ist die Faulheit gut durchdacht.
- die Mathosophen, die wissen, ohne zu rechnen.
Oder die wissen, dass man wüsste, wenn man rechnete.
Das ist Faulheit als höhere Kunstform.
Sehr selten dagegen sind dagegen die Phäen.
- da gibt es die Trophäen, die nur einmal richtig gerechnet haben.
Dafür reiben sie das dann lebenslang allen unter die Nase.
- und schließlich die Koryphäen, die es einfach können.
Das bezweifelt auch niemand, weil sie es niemandem zeigen.
Die große Mehrheit der Menschen erleidet allerdings eher ein Mathyrium. Mathiker und Mathyriker lösen sich gegenseitig auf.
Klarer? Ich bin gerade zu faul, noch detaillierter zu werden...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> > Dass Mathematiker faul sind, habe ich schon öfter gehört
> > :)
>
> Das ist aber nur die Grobansicht.
>
> Allgemein gibt es erstmal vier große Gruppen von
> Mathikern:
>
> - die Ergomathiker, die immer noch ein also/ergo
> dranhängen.
> Sie rechnen sich gern zu Tode, auch mit maschineller
> Hilfe.
> Man nennt sie auch Robotniks.
> - die Mathophilen, die einfach gern rechnen.
> Am besten formt man versuchsweise nochmal um.
> Vielleicht wirds dann schöner.
> - die Mathologen, die erstmal wissen wollen, warum sie
> etwas tun.
> Ab hier dringen wir in der Bereich der Faulheit vor.
> Allerdings ist die Faulheit gut durchdacht.
> - die Mathosophen, die wissen, ohne zu rechnen.
> Oder die wissen, dass man wüsste, wenn man rechnete.
> Das ist Faulheit als höhere Kunstform.
>
> Sehr selten dagegen sind dagegen die Phäen.
>
> - da gibt es die Trophäen, die nur einmal richtig
> gerechnet haben.
> Dafür reiben sie das dann lebenslang allen unter die
> Nase.
> - und schließlich die Koryphäen, die es einfach
> können.
> Das bezweifelt auch niemand, weil sie es niemandem
> zeigen.
>
> Die große Mehrheit der Menschen erleidet allerdings eher
> ein Mathyrium. Mathiker und Mathyriker lösen sich
> gegenseitig auf.
>
> Klarer? Ich bin gerade zu faul, noch detaillierter zu
> werden...
Schade, ich vermisse die Biker und die Katastrophäen...
FRED
>
> Grüße
> reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Di 09.12.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
es gibt ja noch mehr, aber jede einzelne Spezies zu beschreiben, bringt einen ja fast ins l'Hospital.
[...]
> Schade, ich vermisse die Biker und die Katastrophäen...
Ich dachte, die Biker gehörten zu den Grenzwertigen und Unberechnbaren, weil mit ihnen keine Kurvendiskussion zu führen ist. Oder?
Und dass es noch Anhänger der Schule des großen Katastrophoulos Chaotikos (4.Jh. v.d.Z.) gibt, war mir gar nicht bewusst.
Kennen sollte man vielleicht noch die Tomathen und ihre Verschärfung, die Au-Tomathen, sowie natürlich die Schwachmathen und Traumathen. Die liegen alle ziemlich dicht in [mm] \IN^{00}, [/mm] der Menge der Narren.
Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Di 09.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> es gibt ja noch mehr, aber jede einzelne Spezies zu
> beschreiben, bringt einen ja fast ins l'Hospital.
Neulich im Hospital unterhalten sich zwei Krankenschwestern:
"Heute haben wir einen bekommen, der hat alles. Syphilis, Aids, Herpes, Krebs, Cholera, Hepatitis, Ruhr,..."
"Und was macht ihr mit dem?"
"In der Früh bekommt er einen Toast, zu Mittag eine Pizza und am Abend ein Omelett!"
"Und, das hilft?"
"Nein, aber das geht unter der Tür durch!"
Gruß FRED
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Hallo Wackelpeter,
> Ich war sogar soweit gekommen.
>
> Jetzt forme ich nur noch nach tanx = sinx/cosx um, aus
> cos^2x/cos^2x wird 1. Ok soweit.
Jo.
> Aber ist es OK, wenn man sozusagen das Ergebnis nimmt und
> dann einfach nur umformt? Denn wir haben hier ja nichts
> gemacht außer in dem Term, den man zeigen soll, tanx durch
> sinx/cosx zu ersetzen ?
Nein, du willst doch zeigen, dass die "übliche Form" des Additionstheorems mit der in der Aufgabe gegebenen identisch ist.
Was Du dazu aber eigentlich verwenden darfst (hier also insbesondere [mm] $\sin{(2x)}=2\sin{(x)}\cos{(x)}$), [/mm] das muss eigentlich die Aufgabe klarstellen und vorgeben.
Ansonsten hätte ich aber auch keine Idee, wie man hier z.B. geometrisch vorgehen kann, um die Tangensform "from scratch" zu zeigen.
Grüße
reverend
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Also in der VL wurden 2 Additionstheoreme "mitgegeben".
Wenn man in die Fragestellung einsetzt, dass sin2x=2sinxcosx ist, das mit dem Tangensterm gleichsetzt und, wie FRED ja auch sagt, die Definition verwendet, dass tanx=sinx/cosx ist, kommt man auf dem Niveau auf dem wir uns mathematisch bewegen, schon dahin, wo man hinsoll.
Ich hab ja im Inet nach einer Antwort auf diese Frage gesucht und dann stößt man auch auf imaginäre Zahlen in diesem Zusammenhang, die behandeln wir gar nicht, also denke ich, diese Umformung ist, was der Dozent sehen will; und dass man den TRM Pyth. nutzt.
Vielen Dank an alle Beteiligten.
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