Addition bei Kleiner-Gleich < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Mo 18.06.2012 | | Autor: | umbras |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a [mm] \le [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a + c [mm] \le [/mm] b + c |
Ich solle obigen Satz mit vollständiger Induktion beweisen. Leider weiß ich nicht, wie ich das mit Äquivalenzen mache. Ich habe das sonst nur mit Gleichungen gemacht....
Dabei soll ich mit den Peano-Axiomen, der Definition von Addition und der Definition der Kleiner-Gleich-Relation arbeiten...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Zeigen Sie:
> a [mm]\le[/mm] b [mm]\gdw[/mm] a + c [mm]\le[/mm] b + c
>
> Ich solle obigen Satz mit vollständiger Induktion
> beweisen. Leider weiß ich nicht, wie ich das mit
> Äquivalenzen mache. Ich habe das sonst nur mit Gleichungen
> gemacht....
>
> Dabei soll ich mit den Peano-Axiomen, der Definition von
> Addition und der Definition der Kleiner-Gleich-Relation
> arbeiten...
Damit wir helfen können, müssen wir wissen, wie Addition und [mm] $\le$ [/mm] definiert wurden. Da gibt es sehr viele verschiedene Möglichkeiten.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Mo 18.06.2012 | | Autor: | umbras |
Ah, okay.
++ sei unsere Nachfolgeroperation in den natürlichen Zahlen. 0 ist das Startelement.
Definitionen:
0 + a = a
(a++) + b = (a+b)++
a [mm] \le [/mm] b [mm] :\gdw [/mm] a + c = b mit c [mm] \in \IN
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Di 19.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Zeigen Sie:
> a [mm]\le[/mm] b [mm]\gdw[/mm] a + c [mm]\le[/mm] b + c
>
> Ich solle obigen Satz mit vollständiger Induktion
> beweisen. Leider weiß ich nicht, wie ich das mit
> Äquivalenzen mache. Ich habe das sonst nur mit Gleichungen
> gemacht....
Dies zeigen wir mit einer Induktion nach [mm] $\,c$:
[/mm]
$c=0$: Hier ist [mm] $a\le [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a+0 [mm] \le [/mm] b+0$ zu zeigen. Dies gilt aber, weil $0$ neutrales Element der Addition ist.
[mm] $c\to [/mm] c++$:
Die Induktionsvoraussetzung lautet:
[mm] $a\le b\gdw [/mm] a+c [mm] \le [/mm] b+c$.
Die Induktionsbehauptung lautet:
[mm] $a\le b\gdw [/mm] a+c++ [mm] \le [/mm] b+c++$.
Fang also mit der Induktionsvoraussetzung an
[mm] $a\le [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a+c [mm] \le [/mm] b+c$
[mm] $\gdw [/mm] (a+c)+d = b+c$ für ein [mm] $d\in\IN$
[/mm]
...
[mm] $\gdw [/mm] a+c++ [mm] \le [/mm] b+c++$.
Die Pünktchen überlasse ich Dir. Dabei brauchst Du die Injektivität der Nachfolgerfunktion, also
[mm] $x=y\gdw [/mm] x++=y++$ für $x, [mm] y\in \IN$,
[/mm]
die ihr hoffentlich benutzen dürft.
Viel Erfolg,
Wolfgang
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