Abzählende Potenzreihen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mi 27.06.2007 | | Autor: | tommy987 |
| Aufgabe | Finden Sie die erzeugende Funktion der Folge [mm] (a_{n})_{n\ge 0} [/mm] , die gegebene ist durch die Anfangswerte [mm] a_{0}=1, a_{1}=-3 [/mm] und die Rekursion
[mm] a_{n+2}+3a_{n+1}-a_{n}=2n+2 [/mm] n=0,1,2..... |
Hallo!
Da ich in meinem Skriptum und auch im Netz nichts ähnliches gefunden habe, wollte ich fragen, ob mir hier jemand einen Ansatz, bzw. einen Rechenvorgang sagen könnte?
lg Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo tommy987!
> Finden Sie die erzeugende Funktion der Folge [mm](a_{n})_n[/mm] >=0,
> die gegebene ist durch die Anfangswerte [mm]a_{0}=1, a_{1}=-3[/mm]
> und die Rekursion
> [mm]a_{n+2}+3a_{n+1}-a_{n}=2n+2[/mm] n=0,1,2.....
Hast du mal einfach ein paar Werte ausgerechnet?
Und was hat das Ganze mit diskreter Mathematik zu tun?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Do 28.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Multipliziere die ganze Rekursion mit [mm] x^n [/mm] und Summiere über n=0 bis unendlich (formal) ohne dir Gedanken über Konvergenz zu machen
Sie E(x) die erzeugende Funktion der [mm] a_n [/mm] also [mm] \summe_{n=0}^{\inty}a_n*x^n
[/mm]
dann ist z.B. [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n+2}*x^n [/mm] = [mm] \bruch{E(x)-a_0-a_1*x}{x^2}
[/mm]
usw.
potenzreihen kannst du die Funktion direkt hinschreiben also z.b [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] (geom. Reihe)
oder
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}n*x^n [/mm] = [mm] x*\summe_{n=0}^{\infty}a_n*n*x^{n-1}=x*\summe_{n=0}^{\infty}a_n*(x^n)' [/mm] = [mm] x*(\bruch{1}{1-x})'=\bruch{x}{(1-x)^2}
[/mm]
Insgesamt bekommst du also eine Gleichung in E(x) aufgelöst nach E(x) ergibt die erzeugende Funktion der [mm] a_n
[/mm]
Das ist diskrete Mathematik
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