Abzählbarkeit von Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Di 22.04.2014 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | Sind diese Mengen endlich, abzählbar, abzählbar unendlich oder überabzählbar? Man beweise auch die Antwort!
1) A := {a}*
2) S := [mm] \{ x \in \IR : sin (x) = \frac{1}{\wurzel{2}} \} [/mm] |
Hallo liebe Community!
Ich habe eine Frage zu folgenden zwei Aufgaben. Und zwar sehe ich bei Aufgabe 1) nicht, welche Zahlen denn gemeint sind ... etwa alle reellen Zahlen außer die "null"? Und bei Aufgabe 2) weiß ich nicht, wie ich sie angehen soll. Mir ist durchaus bewusst, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist. Wie schaut es jedoch bei den reellen Zahlen aus, welche obige Gleichung lösen?
Als Lösung bekommt man ja: [mm] \{ \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi, \frac{\pi}{4} \pm 2\pi, \frac{3}{4} \pi \pm 2 \pi ... \}. [/mm] Quasi immer zu den beiden ersten Werten 2 [mm] \pi [/mm] addiert bzw. subtrahiert.
Ich würde mich auf eure Antworten sehr freuen! 
Viele Grüße,
Christian!
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Hallo,
> Sind diese Mengen endlich, abzählbar, abzählbar unendlich
> oder überabzählbar? Man beweise auch die Antwort!
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> 1) A := {a}*
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> 2) S := [mm]\{ x \in \IR : sin (x) = \frac{1}{\wurzel{2}} \}[/mm]
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> Hallo liebe Community!
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> Ich habe eine Frage zu folgenden zwei Aufgaben. Und zwar
> sehe ich bei Aufgabe 1) nicht, welche Zahlen denn gemeint
> sind ... etwa alle reellen Zahlen außer die "null"?
Da stehst du nicht alleine da. Wenn man deine Notation, so wie sie dasteht, googelt, kommt als zweites die A-Klasse eines einschlägig bekannten Automobilherstellers, aber von Mathe weit und breit keine Spur. Scheint zumindest eine ungewöhnliche Notation zu sein, sonst wäre ja wohl schon eine Antwort gekommen. Kläre also bitte selbst, was das heißen soll und dann werden wir das Problem sicherlich gemeinsam in den Griff bekommen.
> Und
> bei Aufgabe 2) weiß ich nicht, wie ich sie angehen soll.
> Mir ist durchaus bewusst, dass die Menge der reellen Zahlen
> überabzählbar ist. Wie schaut es jedoch bei den reellen
> Zahlen aus, welche obige Gleichung lösen?
> Als Lösung bekommt man ja: [mm]\{ \frac{\pi}{4}, \frac{3}{4}\pi, \frac{\pi}{4} \pm 2\pi, \frac{3}{4} \pi \pm 2 \pi ... \}.[/mm]
> Quasi immer zu den beiden ersten Werten 2 [mm]\pi[/mm] addiert bzw.
> subtrahiert.
Im Prinzip hast du doch mit diesem richtigen Gedanken die Antwort schon. Kannst du alle diese Stellen bijektiv in die natürlcihen Zahlen abbilden (oder umgekehrt), flapsig gefragt: lassen sich diese Stellen irgendwie nummerieren? Falls ja, dann ist die Menge abzählbar. Und meine Frage ist ja auch eher rhetorischer Natur, denn die Antwort liegt auf der Hand...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 22.04.2014 | | Autor: | X3nion |
Hallo!
alles klar, das mit Teilaufgabe 1 werde ich abklären!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Di 22.04.2014 | | Autor: | X3nion |
Zu Teilaufgabe 2) Ich erkenne nicht sofort, wie ich eine "schöne" Anordnung wie bei den ganzen Zahlen zerstellen kann. Dort macht man es ja wie folgt:
0 1 -1 2 -2 3 -3 ... folglich kann man schön durchnummerieren!
Bei dieser Aufgabe bekomme ich jedoch keine Idee, wie ich das am besten anordnen kann. Ist sie denn deshalb nicht abzählbar unendlich, weil ich keine gescheite Anordnung hinbekomme? Kannst du mir ein wenig auf die Sprünge helfen?
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Hallo,
> Zu Teilaufgabe 2) Ich erkenne nicht sofort, wie ich eine
> "schöne" Anordnung wie bei den ganzen Zahlen zerstellen
> kann. Dort macht man es ja wie folgt:
>
> 0 1 -1 2 -2 3 -3 ... folglich kann man schön
> durchnummerieren!
> Bei dieser Aufgabe bekomme ich jedoch keine Idee, wie ich
> das am besten anordnen kann. Ist sie denn deshalb nicht
> abzählbar unendlich, weil ich keine gescheite Anordnung
> hinbekomme?
Nee, wenn man etwas nicht hinbekommt, dann heißt das noch nix. Sonst würde ich dir glatt die ganzen Vermutungen wie Riemann, Goldbach, Collatz usw. samt und sonders in einem einzigen Beitrag hier wiederlegen. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Kannst du mir ein wenig auf die Sprünge
> helfen?
Ich würde einfach begründen, dass die Menge
[mm] \left \{ x: x= \frac{\pi}{4} +k* \frac{\pi}{2} ; k\in\IZ \right \}
[/mm]
eine Obermenge der fraglichen Menge ist, und damit ist die Abzählbarkeit bewiesen.
Gruß, Diophant
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