Abzählbarkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Trine22 |
| Aufgabe | Eine Teilmenge [mm] U\subset\IR [/mm] heißt offen, wenn es zu jedem [mm] a\in\ [/mm] U ein [mm] \epsilon [/mm] größer 0 gibt, so dass
[mm] \left] a-\epsilon , a+\epsilon \right[\subset\ [/mm] U .
Man zeige: Jede offene Teilmenge [mm] U\subset\IR [/mm] ist Vereinigung von abzählbar vielen offenen Intervallen. |
Hallo, ich würde mich total freuen wenn mir dabei jemand helfen könnte,
ich habe keine Ahnung wie ich da ran gehen soll.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Fr 02.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Trine!
> Eine Teilmenge [mm]U\subset\IR[/mm] heißt offen, wenn es zu jedem
> [mm]a\in\[/mm] U ein [mm]\epsilon[/mm] größer 0 gibt, so dass
> [mm]\left] a-\epsilon , a+\epsilon \right[\subset\[/mm] U .
> Man zeige: Jede offene Teilmenge [mm]U\subset\IR[/mm] ist
> Vereinigung von abzählbar vielen offenen Intervallen.
> Hallo, ich würde mich total freuen wenn mir dabei jemand
> helfen könnte,
> ich habe keine Ahnung wie ich da ran gehen soll.
Also zu jedem $x [mm] \in [/mm] U$ hast du ein [mm] $\varepsilon(x) [/mm] > 0$ mit [mm] $\left]x - \varepsilon(x), x + \varepsilon(x)\right[ \subseteq [/mm] U$.
Zeige nun, dass $U = [mm] \bigcup_{x\in U \cap \IQ} \left]x - \varepsilon(x), x + \varepsilon(x)\right[$ [/mm] ist. Die Menge $U [mm] \cap \IQ \subseteq \IQ$ [/mm] ist offensichtlich abzaehlbar.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 04.06.2006 | | Autor: | Trine22 |
Also, da U [mm] \subset \IR [/mm] und [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR, [/mm] kann ich mein a aus [mm] U\cap \IQ [/mm] wählen. Daraus würde folgen, das
U= [mm] \bigcup_{a\in U\cap \IQ} \left ] a-\epsilon , a+\epsilon \right [/mm] [
Und weil [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, und [mm] a\in \IQ [/mm] ist U Vereinigung aus abzählbar vielen Intervallen.
Ist das richtig so oder muß ich da noch mehr zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
> Also, da U [mm]\subset \IR[/mm] und [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR,[/mm] kann ich mein
> a aus [mm]U\cap \IQ[/mm] wählen. Daraus würde folgen, das
> U= [mm]\bigcup_{a\in U\cap \IQ} \left ] a-\epsilon , a+\epsilon \right[ [/mm]
Was genau ist $a$? Und wieso kannst du $a$ aus $U [mm] \cap \IQ$ [/mm] waehlen? Das musst du schon ausfuehrlicher begruenden!
> Und weil [mm]\IQ[/mm] abzählbar ist, und [mm]a\in \IQ[/mm] ist U Vereinigung
> aus abzählbar vielen Intervallen.
Genau.
LG Felix
|
|
|
|
