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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Fr 09.11.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Auf wieviele verschiedene Arten kann man 2n Personen zu n (ungeordneten) Paaren zusammenfassen? |
Hallo
Ich habe überlegt die verschiedene Arten 2n Personen zu n (ungeordneten) paaren zusammenfassen mit konkreten Werten fü n:
n=1 -> Anzahl der Möglichkeiten =1
n=2 -> Anzahl der Möglichkeuten =3
n=3 -> ANzahl der Möglichkeiten=M(3) =15
Wenn ich mir die Zahlen ansehe liegt die Vermutung nahe:
M(n+1)=(2n+1)* M (n)
Für n=2 : M(2+1)=M(3)=(5)* M (2)= 5 * 3 = 15 und das ist korrekt.
Ich habe an Induktion gedacht, bekomme aber den Induktionsschritt nicht hin.
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Hallo Lu-,
> Auf wieviele verschiedene Arten kann man 2n Personen zu n
> (ungeordneten) Paaren zusammenfassen?
> Hallo
> Ich habe überlegt die verschiedene Arten 2n Personen zu n
> (ungeordneten) paaren zusammenfassen mit konkreten Werten
> fü n:
> n=1 -> Anzahl der Möglichkeiten =1
> n=2 -> Anzahl der Möglichkeuten =3
> n=3 -> ANzahl der Möglichkeiten=M(3) =15
>
> Wenn ich mir die Zahlen ansehe liegt die Vermutung nahe:
> M(n+1)=(2n+1)* M (n)
> Für n=2 : M(2+1)=M(3)=(5)* M (2)= 5 * 3 = 15 und das ist
> korrekt.
> Ich habe an Induktion gedacht, bekomme aber den
> Induktionsschritt nicht hin.
Du wirst eine Begründung brauchen, warum das so ist.
Nehmen wir an, M(n) sei bekannt; wir wissen also, wieviele Möglichkeiten es für 2n Personen gibt.
Jetzt kommen 2 neue Leute hinzu. Eine Person davon stellen wir mal beiseite und ordnen ihr jemanden zu. Dafür gibt es offenbar (2n+1) Möglichkeiten. Und dann bleiben 2n Personen über, und da wissen wir ja schon...
Du brauchst also gar keinen Induktionsschritt, solange Du keine explizite Darstellung für M(n) hast.
Vorläufig ist nur die Rekursion klar, die Du vermutet hast:
M(n+1)=(2n+1)*M(n)
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Fr 09.11.2012 | | Autor: | Lu- |
Achso ich vergessen in der diskreten Mathematik immer die Kombinatorischen Beweise..Also danke für den Beweis für meine Vermutung;)
Ich denke mal es ist aber eine explizite Formel gefragt..
M(1) =1
M(2) = (2*1+1 )*1
M(3)= (2*2+1) * M(2) = (2*2+1) (2*1+1 )*1
M(4)= (2*3 +1) * M(3)= (2*3 +1) * (2*2+1) (2*1+1 )*1
M(n)= (2*(n-1)+1)*...*(2*3 +1) * (2*2+1) (2*1+1 )*1
M(n+1) = (2n+1)*M(n)= (2n+1)*(2*(n-1)+1)...(2*3 +1) * (2*2+1) (2*1+1 )*1
-> M(n)= [mm] \produkt_{i=1}^{n-1} [/mm] 2i+1
Passts ?
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Hallo nochmal,
> Achso ich vergessen in der diskreten Mathematik immer die
> Kombinatorischen Beweise..Also danke für den Beweis für
> meine Vermutung;)
> Ich denke mal es ist aber eine explizite Formel gefragt..
Das vermute ich auch.
> M(1) =1
> M(2) = (2*1+1 )*1
> M(3)= (2*2+1) * M(2) = (2*2+1) (2*1+1 )*1
> M(4)= (2*3 +1) * M(3)= (2*3 +1) * (2*2+1) (2*1+1 )*1
>
> M(n)= (2*(n-1)+1)*...*(2*3 +1) * (2*2+1) (2*1+1 )*1
> M(n+1) = (2n+1)*M(n)= (2n+1)*(2*(n-1)+1)...(2*3 +1) *
> (2*2+1) (2*1+1 )*1
Soweit gut.
> -> M(n)= [mm]\produkt_{i=1}^{n-1}[/mm] 2i+1
> Passts ?
Ja, aber irgendwie fände ich [mm] M(n)=\produkt_{i=1}^{n}(2i-1) [/mm] hübscher, zumal es dann auch für n=1 passt.
Übrigens finde ich die Formel im andern Teil dieses Threads noch netter, was aber nur daran liegt, dass die Fakultätsschreibweise ohne das "auffällige" Produktzeichen auskommt. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Fr 09.11.2012 | | Autor: | Lu- |
Der Prof. soll sich mit dem auffälligen Produktzeichen zufrieden geben^^
Aber vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Fr 09.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Auf wieviele verschiedene Arten kann man 2n Personen zu n
> (ungeordneten) Paaren zusammenfassen?
> Hallo
> Ich habe überlegt die verschiedene Arten 2n Personen zu n
> (ungeordneten) paaren zusammenfassen mit konkreten Werten
> fü n:
> n=1 -> Anzahl der Möglichkeiten =1
> n=2 -> Anzahl der Möglichkeuten =3
> n=3 -> ANzahl der Möglichkeiten=M(3) =15
>
> Wenn ich mir die Zahlen ansehe liegt die Vermutung nahe:
> M(n+1)=(2n+1)* M (n)
> Für n=2 : M(2+1)=M(3)=(5)* M (2)= 5 * 3 = 15 und das ist
> korrekt.
> Ich habe an Induktion gedacht, bekomme aber den
> Induktionsschritt nicht hin.
Hallo,
Induktion brauchst du nicht.
Stelle alle Personen in eine Reihe. Dafür gibt es (2n)! Möglichkeiten.
Die 1. und 2. Person dieser Reihe bilden das erste Paar, die 3. und 4. Person das zweite Paar usw. Damit bekommst du n Paare, die allerdings geordnet sind. Wenn die Paare ungeordnet sein sollen, hätten wir mit dieser Zählweise jedes Paar doppelt gezählt.
(Innerhalb jedes Paares könnten die Personen die Plätze tauschen, ohne dass andere Paare entstehen). Diese n möglichen Vertauschungen berücksichtigen wir, indem wir das Ergebnis (2n)! durch [mm] $2^n$ [/mm] teilen.
Gruß Abakus
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:35 Fr 09.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo abakus,
auch eine schöne Vorgehensweise, aber das Ergebnis stimmt noch nicht:
> > Auf wieviele verschiedene Arten kann man 2n Personen zu n
> > (ungeordneten) Paaren zusammenfassen?
>
> Induktion brauchst du nicht.
> Stelle alle Personen in eine Reihe. Dafür gibt es (2n)!
> Möglichkeiten.
> Die 1. und 2. Person dieser Reihe bilden das erste Paar,
> die 3. und 4. Person das zweite Paar usw. Damit bekommst du
> n Paare, die allerdings geordnet sind. Wenn die Paare
> ungeordnet sein sollen, hätten wir mit dieser Zählweise
> jedes Paar doppelt gezählt.
> (Innerhalb jedes Paares könnten die Personen die Plätze
> tauschen, ohne dass andere Paare entstehen). Diese n
> möglichen Vertauschungen berücksichtigen wir, indem wir
> das Ergebnis (2n)! durch [mm]2^n[/mm] teilen.
Allerdings kommt jede Zusammenstellung von Paaren gleich n! mal vor, weil man ja auch noch die Paare umordnen kann.
Deswegen ist [mm] M(n)=\bruch{(2n)!}{2^n*n!}
[/mm]
Diese Formel könnte man nun per Induktion beweisen - wozu man die schon anfangs vermutete Rekursion benötigt.
Grüße
reverend
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