Abweichungen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:37 Sa 05.04.2008 | | Autor: | nuggie |
| Aufgabe | | Ein Messgerät produziert fehlerbehaftete Messwerte. Bei einer merhrfachen Messung zeigt es statt des wahren Parameters [mm] \mu [/mm] Messwerte [mm] Y_i [/mm] := [mm] \mu [/mm] + [mm] X_i [/mm] an, wobei [mm] X_i [/mm] gleichverteilt auf dem Intervall [−1, 1] und stoch. unabhängig sind. Um die Messgenauigkeit zu erhöhen, wird eine Messung n-mal wiederholt und der Mittelwert [mm] \overline{Y_n} [/mm] := [mm] {1\over n} [/mm] * [mm] \sum_{i=1}^n Y_i [/mm] als Ergebnis der Messreihe genommen. Mit welcher (approximativen) Wahrscheinlichkeit überschreitet die Abweichung | [mm] \overline{Y_n} [/mm] − [mm] \mu [/mm] | den Wert Cn := [mm] {2\over \sqrt{3n}} [/mm] ? |
Ich habe irgendwie kein Plan wie ich das rechnen muss.
Ich weiß nur, dass es bestimmt mit dem Konfidenzintervall irgendwie geht.
Ein Konfidenzintervall mit dem zentralen Grenzwertsatz kann ich berechnen, nur hier weiß ich nicht genau was ich machen muss.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen, am besten es sogar mal rechnen und mir die Schritte erläutern.
Irgendwie wurde auch die [mm] 2-\sigma [/mm] Regel verwendet und ich habe keinen Plan warum. Und wie man darauf kommt
Bitte :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Sa 05.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin nuggie,
beachte: [mm] $\bar Y_n$ [/mm] ist ein arithmetisches Mittel mit
[mm] $\operatorname{E}[\bar Y_n]=\mu$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[\bar Y_n]=1/(3n)$. [/mm] Nutze nun den ZGS aus um
[mm] $P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)=1- \left(|\bar Y_n-\mu|\le\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)$
[/mm]
zu approximieren.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Sa 05.04.2008 | | Autor: | nuggie |
Brauche ich wirklich die Varianz vom Mittelwert?
Ich habe das immer mit der Varianz von einem Moment gerechnet, also diese Formel benutzt:
[mm] {{\overline{Y_n} - \mu} \over {\sigma \over \sqrt{n}}}
[/mm]
und [mm] \mu [/mm] = [mm] E(Y_i) [/mm] und [mm] \sigma [/mm] = [mm] \sqrt(Var(Y_i))
[/mm]
Und dann komme ich auf folgendes:
[mm] \sqrt(n) [/mm] * [mm] {{\overline{Y_n} - \mu}\over{1\over\sqrt{3}}} [/mm] = [mm] \sqrt(3n) [/mm] * [mm] (\overline{Y_n} [/mm] - [mm] \mu)
[/mm]
Also jetzt:
[mm] \sqrt(3n) [/mm] * [mm] (\overline{Y_n} [/mm] - [mm] \mu) [/mm] > [mm] 2\over \sqrt(3n)
[/mm]
[mm] \Rightarrow Y_n [/mm] - [mm] \mu [/mm] > [mm] 2\over 9n^2
[/mm]
und was nun :/
In der Übung haben wir das hier aufgeschrieben: und das verstehe ich leider gar nicht :(
[mm] S_n \* [/mm] = [mm] \sqrt(3n) [/mm] * [mm] \sum_{i=1}^n X_i
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] = [mm] 1\over{\sqrt(3n)} [/mm] * [mm] S_n \* \Rightarrow |S_n \*| [/mm] > 2
Dann wenden wir den zentralen Grenzwertsatz an:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] P(-2 [mm] \leq S_n \* \leq [/mm] 2)
= [mm] \phi(2) [/mm] - [mm] \phi(-2) [/mm]
= [mm] 1\over{\sqrt(2 \pi)} [/mm] * [mm] \integral_{-2}^{2}{e^{-{{y^2}\over2}}} [/mm] dy
= [mm] 2*\phi(2) [/mm] -1 = 1 - 2 [mm] \phi(2-) [/mm]
[mm] \approx [/mm] 0,95
und ein anderer Tutor hat das hier aufgeschrieben
Nach [mm] 2-\sigma [/mm] Regel gilt:
P(|Z| > 2 [mm] \sigma) [/mm] = 0,05
[mm] P(|\overline{Y_n} [/mm] - [mm] \mu [/mm] | > [mm] 2\over{\sqrt{3n}}) [/mm]
= [mm] P(|\sqrt{n} (\overline{Y_n} [/mm] - [mm] \mu)| [/mm] > 2 [mm] \sigma)
[/mm]
= [mm] P(|\sqrt{n} [/mm] * [mm] {1\over n} \sum (Y_i [/mm] - [mm] \mu) {1\over \sigma}| [/mm] > 2)
= P(| [mm] {{\sum(Y_i - \mu)}\over{\sqrt{n} \sigma}}| [/mm] > 2)
= 1 - 0,95
= 0,05
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Sa 05.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin nuggie,
du hast fast Recht. Schreib das doch einfach einmal so um, dass ein
Ausdruck erscheint, der deinem entspricht. Ungefaehr so:
[mm] \begin{matrix}
P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)
&=&1- P\left(|\bar Y_n-\mu|\le\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) \\
&=&1-P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right)
\end{matrix}
[/mm]
Nun kannst du [mm] $\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)$ [/mm] als approximativ
standardnormalverteilt ansehen. Somit erfolgt die Berechnung so, wie man
es in der Uebung bzw. vom Tutor getan wurde.
vg
Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:41 Sa 05.04.2008 | | Autor: | nuggie |
und was passiert mit den [mm] \sqrt{3n} [/mm] vom zentralen Grenzwertsatz?
Ich verstehe gerade nicht, wie ich da weiter machen muss.
Wenn ich es so umforme, habe ich ein [mm] \sqrt{3n} [/mm] in der Übung ist es ein [mm] \sqrt{n} [/mm] und wie komme ich von der 2 auf das [mm] 2\sigma [/mm]
Wäre es möglich, es zuende zu rechnen und mir die Schritte zu erläutern? Irgendwie fällt da was vom Himmel was ich nicht sehe und das frustet mich jetzt schon seit gestern Abend :/
Vor allem, weil ich gestern Nachmittag die Berechnung eines approximative Konfidenzintervalls mit dem ZGS verstanden habe und ich dachte, die Aufgabe sei sehr ähnlich. :(
Der ZGS ist ja wie ich berechnet habe
[mm] \sqrt(n) [/mm] * [mm] {{\overline{Y_n} - \mu}\over{1\over\sqrt{3}}} [/mm] = [mm] \sqrt(3n) [/mm] * [mm] (\overline{Y_n} [/mm] - [mm] \mu) [/mm]
also muss ich ja nach nichts auflösen oder umformen, weil es ja schon genau das ist, was wir auch approximieren wollen (und nicht wie bei anderen Rechungen [mm] \mu [/mm] oder [mm] Y_n, [/mm] sondern der ganze Term soll approximiert werden)
also für große n gilt ja nun:
[mm] P(\sqrt(3n) [/mm] * [mm] (\overline{Y_n} [/mm] - [mm] \mu) \leq [/mm] x) [mm] \cong \phi(x)
[/mm]
und anscheind ist ja x=2, also
[mm] P(\sqrt(3n) [/mm] * [mm] (\overline{Y_n} [/mm] - [mm] \mu) \leq [/mm] 2) [mm] \cong \phi(2)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 07.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Sa 05.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Allgemeine Fakten (unabhaengig von deiner Aufgabe):
1) Gegeben sind die unabhaengigen Zufallsvariablen $Y_1,...,Y_n$
2) Alle haben dieselbe Verteilung
3) $\operatorname{E}[Y_1]=\dots,\operatorname{E}[Y_n]=\mu$
4) $\operatorname{Var}[Y_1]=\dots,\operatorname{Var}[Y_1]=\sigma^2$
Dann ist die Zufallsvariable
$\frac{\bar Y_n-\mu}{\sigma}\sqrt{n}$
asymptotisch standardnormalverteilt. Fuer nicht zu kleine $n$ bedeutet
das, dass
$P\left(\frac{\bar Y_n-\mu}{\sigma}\sqrt{n}\le z)\approx\Phi(z)$.
Nun zu deinem Fall. Die Zufallsvariablen $Y_1=X_1+\mu,...,Y_n=X_n+\mu$
sind von obiger Bauart, wobei
$\operatorname{E}[Y_1]=\dots,\operatorname{E}[Y_n]=\mu$ und
$\operatorname{Var}[Y_1]=\dots,\operatorname{Var}[Y_1]=\sigma^2=1/3$.
Also gilt nun
$P\left(\frac{\bar Y_n-\mu}{\sigma}\sqrt{n}\le z)= P\left(\frac{\bar Y_n-\mu}{1/3}\sqrt{n}\le z)\approx\Phi(z)$.
In der Aufgabe ist
$P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)$
zu approximieren. Wir erhalten
\begin{matrix}
P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)
&=&1- P\left(|\bar Y_n-\mu|\le\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) \\
&=&1-P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right) \\
&=&1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right)\\
&\approx&1-(\Phi(2)-\Phi(2))\\
&=& 0.05
\end{matrix}
Die Formel aus Uebung stellt die Berechnung von $P\left(|\bar Y_n-\mu|\le\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)$
dar, der letzte "Kick" fehlt dort.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Sa 05.04.2008 | | Autor: | nuggie |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ok, dass sieht schon sehr vielversprechend aus, danke!!!!
Nur noch eine Frage:
$ P\left(\frac{\bar Y_n-\mu}{\sigma}\sqrt{n}\le z)= P\left(\frac{\bar Y_n-\mu}{1/3}\sqrt{n}\le z)\approx\Phi(z) $
Und wozu musste ich das machen, wenn ich das andere einfach nur umformen muss?
Oder brauchen wir das und sehen (wie ich schon oben geschrieben habe), dass
\frac{\bar Y_n-\mu}{1/3}\sqrt{n}
schon das gleiche ist wie das andere umgeformt nach 2
also \sqrt(3n) * (\overline{Y_n} - \mu)
Also nochmal, etwas besser aufgeschrieben meine ich:
Oben haben wir mit dem ZGS berechnet:
\frac{\bar Y_n-\mu}{1/3}\sqrt{n}
= \sqrt{3n} (\bar Y_n-\mu)
Jetzt die andere Rechnung
\begin{matrix}
1 - P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)
&=&1 - P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right) \\
\end{matrix}
Und wir sehen hier, das P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right)
das gleiche ist, wie oben mit dem ZGS berechnet:
$P\left(\sqrt{3n} (\bar Y_n-\mu) \le z)\approx\Phi(z)$.
Nur statt dem z jetzt die 2. Und deshalb müssen wir nicht weiter umformen, sondern können direkt weiterrechnen.
Es könnte aber auch sein, das nicht das gleiche da steht, wie mit dem ZGS berechnet. Z.B: $P\left(\sqrt{6n} (\bar Y_n-\mu) \le z)\approx\Phi(z)$
(macht zwar jetzt nicht viel sinn, weil man es nicht umrechnen kann, soll aber nur als Beispiel dienen)
Wenn nicht das gleiche da stehen würde, müssten wir versuchen, das aus dem ZGS berechnete auf
P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right)
zu überführen, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Sa 05.04.2008 | | Autor: | luis52 |
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> Wenn nicht das gleiche da stehen würde, müssten wir
> versuchen, das aus dem ZGS berechnete auf
> [mm]P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right)[/mm]
> zu überführen,
> oder?
>
Genau. Mein ganzes Sinnen und Trachten bestand darin,
die Aufgabenstellung in eine Form zu brigen, dass ich
den ZGS anwenden konnte.
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Sa 05.04.2008 | | Autor: | nuggie |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Mir war nur nicht klar, weshalb wir das eine mit dem ZGS berechnen müssen
$ P\left(\frac{\bar Y_n-\mu}{\sigma}\sqrt{n}\le z)= P\left(\frac{\bar Y_n-\mu}{1/3}\sqrt{n}\le z)\approx\Phi(z) $
Das muss man aber immer, oder?
Wir sehen nur hier: AHHH, das ist das gleiche, wir wenn wir die Fragestellung nach 2 umformen, das heisst wir müssen nichts mehr machen.
Richtig?
Und noch eine Frage, was sollte das, was der eine Tutor von den beiden gemacht hat?
\Rightarrow = 1\over{\sqrt(3n)} * S_n \* \Rightarrow |S_n \*| > 2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Sa 05.04.2008 | | Autor: | luis52 |
> Mir war nur nicht klar, weshalb wir das eine mit dem ZGS
> berechnen müssen
> [mm]P\left(\frac{\bar Y_n-\mu}{\sigma}\sqrt{n}\le z)= P\left(\frac{\bar Y_n-\mu}{1/3}\sqrt{n}\le z)\approx\Phi(z)[/mm]
>
> Das muss man aber immer, oder?
> Wir sehen nur hier: AHHH, das ist das gleiche, wir wenn
> wir die Fragestellung nach 2 umformen, das heisst wir
> müssen nichts mehr machen.
>
> Richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Und noch eine Frage, was sollte das, was der eine Tutor von
> den beiden gemacht hat?
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] = [mm]1\over{\sqrt(3n)}[/mm] * [mm]S_n \* \Rightarrow |S_n \*|[/mm]
> > 2
>
Vielleicht so:
[mm] $\frac{\bar Y_n-\mu}{\sigma}\sqrt{n}=\dfrac{\frac{1}{n}\sum(X_i+\mu)-\mu}{\sigma}\sqrt{n} =\sqrt{3n}\frac{1}{n}\sum X_i=S_n^\ast$ [/mm] (kleine Unstimmigkeit!)
Also ist
[mm] $P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)= P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|>2\right) =P(|S_n^\ast|>2)$
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:09 Fr 11.04.2008 | | Autor: | nuggie |
Nachdem ich jetzt das formale der anderen Aufgabe theoretisch verstanden habe, habe ich noch eine Frage hierzu:
$ [mm] \begin{matrix} P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) &=&1- P\left(|\bar Y_n-\mu|\le\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) \\ &=&1-P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right) \\ &=&1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right)\\ &\approx&1-(\Phi(2)-\Phi(2))\\ &=& 0.05 \end{matrix} [/mm] $
Warum gilt das hier?
[mm] 1-P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right) \\ [/mm]
[mm] 1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right) \\
[/mm]
das ist doch eigentlich was anderes?
das obere wäre ja 1 - [mm] \phi(2) [/mm] = 0,0228
und das untere, wie du schreibst: 1 - [mm] (\phi(2) [/mm] - [mm] \phi(-2)) [/mm] = 0,05
Also was wirklich anderes. Wieso machst du die Umformung und warum muss man diese machen?
Dürften wir das nicht nur dann machen, wenn explizit in der Aufgabe steht "Zweiseitiges Konfidenzintervall" und dann macht man einfach das was man beim ZGS rechts stehen hat nochmal links hin mit nem Minus?
Wir berechnen ja hier die Wahrscheinlichkeit, dass es links oder rechts von unserem Konfidenzintervall liegt.
Aber wenn wir nur ein einseitiges haben, dann liegt es doch nur rechts davon?
Aber in der Aufgabe hier steht ja nicht ob einseitig oder zweiseitig, oder übersehe ich was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Fr 11.04.2008 | | Autor: | luis52 |
> Nachdem ich jetzt das formale der anderen Aufgabe
> theoretisch verstanden habe, habe ich noch eine Frage
> hierzu:
>
> [mm]\begin{matrix} P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) &=&1- P\left(|\bar Y_n-\mu|\le\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) \\ &=&1-P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right) \\ &=&1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right)\\ &\approx&1-(\Phi(2)-\Phi(2))\\ &=& 0.05 \end{matrix}[/mm]
>
>
> Warum gilt das hier?
Da habe ich mich vertan. Es muss heissen [mm] $\approx1-(\Phi(2)-\Phi(-2))$.
[/mm]
Beantwortet das die Frage?
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Fr 11.04.2008 | | Autor: | nuggie |
Nein, nicht wirklich
Meine Frage ist: Warum können wir das gleich setzten, obwohl das was ganz verschiedenes ist:
[mm] 1-P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right) \\
[/mm]
[mm] =1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right)\\ [/mm]
Das obere:
[mm] 1-P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right) [/mm] = 1 - [mm] \phi(2) [/mm] = 0,0228
Das untere:
[mm] 1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right) [/mm] = 1 - [mm] (\phi(2) [/mm] - [mm] \phi(-2)) [/mm] = 1 - [mm] (\phi(2) [/mm] - (1 - [mm] \phi(2))) [/mm] = 2 - [mm] \phi(2) [/mm] - [mm] \phi(2) [/mm] = 0,0456
Das ist doch grundsätzlich was ganz verschiedenes, wie man auch am Ergebnis sieht. Und wenn ich es mir als Schaubild vorstelle ist doch "alles was kleiner ist als 2" was anderes als "alles was zwischen -2 und 2 liegt"
Zweite Frage:
Was genau ist denn der zentrale Grenzwertsatz? (wenn ich das eine nicht in das andere überführen darf - das ist ja meine Frage)
[mm] P(Z_n \le [/mm] z) [mm] \cong \phi(z)
[/mm]
oder
P( -z [mm] \le Z_n \le [/mm] z) [mm] \cong \phi(z) [/mm] - [mm] \phi(-z)
[/mm]
Ich raff halt gerade überhaupt nicht, warum diese Umformung gültig ist, wenn das Ergebnis ein ganz anderes ist:
$ [mm] 1-P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right) \\ [/mm] $
= $ [mm] 1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right) \\ [/mm] $
Gilt das wegen den Betragsstrichen? Wenn ja, was mache ich, wenn diese Betragsstriche nicht da sind (wie in meiner anderen Aufgabe vom Konfidenzintervall - da haben wir ja auch einfach diese Gleichheit angenommen)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Fr 11.04.2008 | | Autor: | luis52 |
> Nein, nicht wirklich
>
> Meine Frage ist: Warum können wir das gleich setzten,
> obwohl das was ganz verschiedenes ist:
>
> [mm]1-P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right) \\[/mm]
>
> [mm]=1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right)\\[/mm]
>
> Das obere:
>
> [mm]1-P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right)[/mm] = 1 - [mm]\phi(2)[/mm]
> = 0,0228
>
> Das untere:
>
> [mm]1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right)[/mm] = 1 -
> [mm](\phi(2)[/mm] - [mm]\phi(-2))[/mm] = 1 - [mm](\phi(2)[/mm] - (1 - [mm]\phi(2)))[/mm] = 2 -
> [mm]\phi(2)[/mm] - [mm]\phi(2)[/mm] = 0,0456
>
> Das ist doch grundsätzlich was ganz verschiedenes, wie man
> auch am Ergebnis sieht. Und wenn ich es mir als Schaubild
> vorstelle ist doch "alles was kleiner ist als 2" was
> anderes als "alles was zwischen -2 und 2 liegt"
>
>
> Zweite Frage:
>
> Was genau ist denn der zentrale Grenzwertsatz? (wenn ich
> das eine nicht in das andere überführen darf - das ist ja
> meine Frage)
>
> [mm]P(Z_n \le[/mm] z) [mm]\cong \phi(z)[/mm]
>
> oder
>
> P( -z [mm]\le Z_n \le[/mm] z) [mm]\cong \phi(z)[/mm] - [mm]\phi(-z)[/mm]
>
>
>
> Ich raff halt gerade überhaupt nicht, warum diese Umformung
> gültig ist, wenn das Ergebnis ein ganz anderes ist:
>
> [mm]1-P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right) \\[/mm]
> =
> [mm]1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right) \\[/mm]
>
> Gilt das wegen den Betragsstrichen?
Ja, ja! Deswegen ist auch deine Rechnung oben falsch.
>Wenn ja, was mache ich,
> wenn diese Betragsstriche nicht da sind (wie in meiner
> anderen Aufgabe vom Konfidenzintervall - da haben wir ja
> auch einfach diese Gleichheit angenommen)
>
Da haetten wir auch schreiben koennen: [mm] $P(\sqrt{5n}|\bar Y_n-\mu|\le z)\approx [/mm] 0.95$ fuer [mm] $z=\Phi^{-1}(0.975)$. [/mm]
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Fr 11.04.2008 | | Autor: | nuggie |
> Ja, ja! Deswegen ist auch deine Rechnung oben falsch.
Aber das hattest du doch so gerechnet in der einen Antwort
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Fr 11.04.2008 | | Autor: | luis52 |
> > Ja, ja! Deswegen ist auch deine Rechnung oben falsch.
>
> Aber das hattest du doch so gerechnet in der einen Antwort
>
Huch! Wo?
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Fr 11.04.2008 | | Autor: | nuggie |
Du hast geschrieben:
In der Aufgabe ist
$ [mm] P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) [/mm] $
zu approximieren. Wir erhalten
$ [mm] \begin{matrix} P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) &=&1- P\left(|\bar Y_n-\mu|\le\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) \\ &=&1-P\left(|\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)|\le2\right) \\ &=&1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right)\\ &\approx&1-(\Phi(2)-\Phi(2))\\ &=& 0.05 \end{matrix} [/mm] $
Und dort machst du ja diese Gleichsetzung
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Fr 11.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo nuggie,
die einzige Unstimmigkeit, die ich entdecke ist
[mm] $1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right)\approx1-(\Phi(2)-\Phi(2))$,
[/mm]
und da habe ich ja schon frueher eingeraeumt, dass es
[mm] $1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right)\approx1-(\Phi(2)-\Phi(-2))$,
[/mm]
heissen muss.
Vielleicht behagt dir ja die folgende Version mehr:
In der Aufgabe ist
$ [mm] P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)=1-P\left(|\bar Y_n-\mu|\le\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)=1-P\left(-\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\le \bar Y_n-\mu\le \dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) [/mm] $
zu approximieren. Wir erhalten
$ [mm] \begin{matrix}1- P\left(-\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\le \bar Y_n-\mu\le \dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) &=&1-P\left(-2\le\sqrt{3n}(\bar Y_n-\mu)\le2\right)\\ &\approx&1-(\Phi(2)-\Phi(-2))\\ &=& 0.05 \end{matrix} [/mm] $
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Fr 11.04.2008 | | Autor: | nuggie |
Die einzige Frage ist nur, warum das hier gilt:
[mm] 1-P\left(|\bar Y_n-\mu|\le\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)=1-P\left(-\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\le \bar Y_n-\mu\le \dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)
[/mm]
Ist das wegen den Betragsstrichen?
Das einseitige Konfidenzintervall vom Betrag ist das zweiseitige Konfidenzintervall vom normalen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Fr 11.04.2008 | | Autor: | luis52 |
> Die einzige Frage ist nur, warum das hier gilt:
>
> [mm]1-P\left(|\bar Y_n-\mu|\le\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)=1-P\left(-\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\le \bar Y_n-\mu\le \dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)[/mm]
>
> Ist das wegen den Betragsstrichen?
Ja.
> Das einseitige Konfidenzintervall vom Betrag ist das
> zweiseitige Konfidenzintervall vom normalen?
???
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Fr 11.04.2008 | | Autor: | nuggie |
ICh meinte damit nur:
Wenn man das einseitige Konfidenzintervall mit den Betragsstrichen drin hat, kann man daraus das zweiseitige machen ;D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Fr 11.04.2008 | | Autor: | luis52 |
> ICh meinte damit nur:
>
> Wenn man das einseitige Konfidenzintervall mit den
> Betragsstrichen drin hat, kann man daraus das zweiseitige
> machen ;D
Ich glaube zu verstehen, was dein Problem ist (geb's Gott  ).
In deinem ersten Posting hast du geschrieben:
Ich weiß nur, dass es bestimmt mit dem Konfidenzintervall irgendwie geht.
Das fuehrt dich auf den Holzweg. Es geht stumpf um die Berechnung von
$ [mm] P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)=1- \left(|\bar Y_n-\mu|\le\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) [/mm] $
Du musst nicht erst kompliziert ueber den Umweg eines
Konfindenzintervalls argumentieren. Beim Konfidenzintervall geht es um
eine Groessenabschaetzung von [mm] $\mu$, [/mm] hier um die (approximative)
Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Fr 11.04.2008 | | Autor: | nuggie |
jo ich hatte nur ein Problem, weil ich nicht wusste das man durch die Betragsstiche ein zweiseitiges Ding berechnet. und dadurch wirds einfacher wegen dem [mm] \phi(2) [/mm] - [mm] \phi(-2)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:35 Sa 12.04.2008 | | Autor: | nuggie |
[/quote]
Das fuehrt dich auf den Holzweg. Es geht stumpf um die Berechnung von
$ [mm] P\left(|\bar Y_n-\mu|>\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right)=1- \left(|\bar Y_n-\mu|\le\dfrac{2}{\sqrt{3n}}\right) [/mm] $
[/quote]
Jo, aber nur MUSS man es hier umformen in das zweiseitige Intervall (wegen den Betragsstrichen) um die richtige Wahrscheinlichkeit berechnen zu können:
1- [mm] \left(|\sqrt{3n} \bar Y_n-\mu|\le 2\right) \cong [/mm] 1- [mm] \phi(2) [/mm] wäre hier die falsche Lösung. (1 - 0,9772 = 0,0228)
Da da der Betrag steht ist das hier richtig:
[mm] 1-\left(-2 \le \sqrt{3n} \bar Y_n-\mu \le 2 \right) \cong [/mm] 1 - [mm] (\phi(2) [/mm] - [mm] \phi(-2))
[/mm]
ist das richtige. (1 - (0,9772 - (1 - 0,9772)) = 0,0456)
Es gilt doch: Wenn Betrag, dann formt man es um in ein zweiseitiges Konfidenzintervall (so hat es mir heute meine Tutorin in der Fragestunde erklärt)
anders formuliert:
Wäre die Aufgabenstellung gewesen:
Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] Y_n [/mm] - [mm] \mu \ge \bruch{2}{\sqrt{3n}} [/mm] ist [u](ohne die Betragsstriche), dann hätte man es so gerechnet:
1 - [mm] P(Y_n [/mm] - [mm] \mu \le \bruch{2}{\sqrt{3n}}) [/mm] =
= 1 - [mm] P(\sqrt{3n} Y_n [/mm] - [mm] \mu \le [/mm] 2) = 1 - [mm] \phi(2) [/mm] = 1 - 0,9772 = 0,0228
Wenn die Aufgabenstellung wie bei uns ist:
Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] |Y_n [/mm] - [mm] \mu| \ge \bruch{2}{\sqrt{3n}} [/mm] ist [u](mit Betragsstrichen), dann rechnet man es so:
[mm] P(|\sqrt{3n} Y_n [/mm] - [mm] \mu| \ge [/mm] 2)
= 1 - [mm] P(|\sqrt{3n} Y_n [/mm] - [mm] \mu| \le [/mm] 2)
(wegen dem betrag formt man es in folgende form um - meine frage: gilt das immer beim/durch den betrag (laut tutorin: ja)))
1 - P(-2 [mm] \le \sqrt{3n} Y_n [/mm] - [mm] \mu \le [/mm] 2) = 1 - [mm] (\phi(2) [/mm] - [mm] \phi(-2) [/mm] = 1 - (0,9772 - (1 - 0,9772)) = 0,0456
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:27 Sa 12.04.2008 | | Autor: | luis52 |
> frage: gilt das immer beim/durch den betrag
Ja.
vg Luis
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