Abstandbestimmung < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 So 18.09.2011 | | Autor: | dine04 |
| Aufgabe | Bestimme den Abstand von L zu P:
L = [mm] \{2x_1 + x_2 + 3x_3 + x_4 = 3 \wedge x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4 | (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \IR^4 \}
[/mm]
P = (1, 9, 8, -1) |
Bisher sollten wir immer den Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt bestimmen, aber L ist doch diesmal keine Ebene, oder?
Ich dachte mir, vielleicht könnte ich L umschreiben, sodass ich dann genau so vorgehen kann, wie wir dass immer bei der Abstandsbestimmung von einer Ebene zu einem Punkt gemacht haben:
L = [mm] \{(-3,-4) + x_1(2,1) + x_2(1,1) + x_3(3,1) + x_4(1,1) | (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \IR^4 \}
[/mm]
Dann habe ich den homogenen Fall betrachtet:
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0 und mit Hilfe des Gauß-Algorithmus folgende Lösungsmenge erhalten: [mm] \{s(-2,1,1,0) + t(0,-1,0,1) | s,t \in \IR \}
[/mm]
Mit dem Punkt P und der erhaltenen Lösungsmenge habe ich nun eine Ebene F "hergestellt", die senkrecht zu E stehen soll:
F = [mm] \{ (1, 9, 8, -1) + s( -1, 1, 1, 0) + t( 0, -1, 0, 1) | s,t \in \IR \}
[/mm]
Danach habe ich den Schnittpunkt von E und F durch gleichsetzen bestimmt und zwar:
E = F
[mm] \Rightarrow [/mm] (-3, -4) + a(2,1) + b1,1) + c(3,1) + d(1,1) = (1, 9, 8, -1) + s( -1, 1, 1, 0) + t( 0, -1, 0, 1)
[mm] \gdw [/mm] (-2, -13, -8, 1) = s( -2, 1, 1, 0) + t(0, -1, 0, -1) + a(-2, -1, 0, 0) + b(-1,-1, 0, 0) + c(-3, -1, 0, 0) + d(-1, -1, 0, 0)
Nun habe ich den Gauß-Algorithmus wieder angewandt, allerdings für a und b nur Werte in Abhängigkeit von c und d bekommen. Daraus habe ich jetzt mal geschlossen, dass meine ganze Vorgehensweise falsch war...
Würde mich daher freuen, wenn mir jemand weiter helfen kann ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimme den Abstand von L zu P:
> L = [mm]\{2x_1 + x_2 + 3x_3 + x_4 = 3 \wedge x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4 | (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \IR^4 \}[/mm]
Notiert Ihr das wirklich so?
Es sollte doch wohl eher heißen:
[mm] \{ (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \IR^4 |2x_1 + x_2 + 3x_3 + x_4 = 3 \wedge x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4 \}
[/mm]
>
> P = (1, 9, 8, -1)
> Bisher sollten wir immer den Abstand zwischen einer Ebene
> und einem Punkt bestimmen, aber L ist doch diesmal keine
> Ebene, oder?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
L ist ein zweidimensionaler affiner Unterraum des [mm] \IR^4.
[/mm]
> Ich dachte mir, vielleicht könnte ich L umschreiben,
> sodass ich dann genau so vorgehen kann, wie wir dass immer
> bei der Abstandsbestimmung von einer Ebene zu einem Punkt
> gemacht haben:
Ich fände es ja ganz geschickt, wenn Du erstmal nachschlagen würdest, was Ihr zum Abstand Punkt-affiner Unterraum notiert habt.
> L = [mm]\{(-3,-4) + x_1(2,1) + x_2(1,1) + x_3(3,1) + x_4(1,1) | (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \IR^4 \}[/mm]
Das stimmt nicht.
Es ist doch L ein Teilraum des [mm] \IR^4.
[/mm]
L enthält 4-Tupel (s.o.), bei Dir jedoch 2-Tupel.
>
> Dann habe ich den homogenen Fall betrachtet:
> [mm]2x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0 und mit Hilfe des
> Gauß-Algorithmus folgende Lösungsmenge erhalten:
> [mm]\{s(-2,1,1,0) + t(0,-1,0,1) | s,t \in \IR \}[/mm]
Du weißt nun, daß L parallel zu diesem Raum ist und kannst L schreiben als
[mm] L=\{\vektor{...\\...\\...\\...}+s\vektor{-2\\1\\1\\0}+t\vektor{0\\-1\\0\\1}| s,t\in \IR.\}
[/mm]
>
> Mit dem Punkt P und der erhaltenen Lösungsmenge habe ich
> nun eine Ebene F "hergestellt", die senkrecht zu E stehen
> soll:
Was ist E? Du meinst sicher L.
> F = [mm]\{ (1, 9, 8, -1) + s( -1, 1, 1, 0) + t( 0, -1, 0, 1) | s,t \in \IR \}[/mm]
Wo kommen diese beiden Richtungsvektoren her?
>
> Danach habe ich den Schnittpunkt von E und F durch
> gleichsetzen bestimmt und zwar:
> E = F
> [mm]\Rightarrow[/mm] (-3, -4) + a(2,1) + b1,1) + c(3,1) + d(1,1) =
> (1, 9, 8, -1) + s( -1, 1, 1, 0) + t( 0, -1, 0, 1)
Das kann nicht gutgehen! Nie können Zweitupel gleich irgendwelchen Viertupeln sein.
Mit der richtigen Darstellung von L wird es sicher besser gelingen.
Gruß v. Angela
> [mm]\gdw[/mm] (-2, -13, -8, 1) = s( -2, 1, 1, 0) + t(0, -1, 0, -1)
> + a(-2, -1, 0, 0) + b(-1,-1, 0, 0) + c(-3, -1, 0, 0) +
> d(-1, -1, 0, 0)
>
> Nun habe ich den Gauß-Algorithmus wieder angewandt,
> allerdings für a und b nur Werte in Abhängigkeit von c
> und d bekommen. Daraus habe ich jetzt mal geschlossen, dass
> meine ganze Vorgehensweise falsch war...
> Würde mich daher freuen, wenn mir jemand weiter helfen
> kann ;)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mo 19.09.2011 | | Autor: | dine04 |
erst mal danke für deine hilfe ;)
Leider habe ich es immer noch nicht ganz verstanden und da ich morgen u.a. über dieses thema eine klausur schreibe, hoffe ich, dass du mir noch mal weiterhelfen kannst. Danke :)
also...
> Du weißt nun, daß L parallel zu diesem Raum ist und kannst L schreiben als
L = [mm] \{ \vektor{... \\ ... \\ ... \\ ...} + s \vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ 0} + t \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1} | s, t \in \IR \}
[/mm]
setze ich dann dort den Punkt (1, 9, 8, -1) ein?
und mit was muss ich L dann gleich setzen? Oder muss ich das dann gar nicht gleich setzen?
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> erst mal danke für deine hilfe ;)
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> Leider habe ich es immer noch nicht ganz verstanden und da
> ich morgen u.a. über dieses thema eine klausur schreibe,
> hoffe ich, dass du mir noch mal weiterhelfen kannst. Danke
> :)
>
> also...
> > Du weißt nun, daß L parallel zu diesem Raum ist und
> kannst L schreiben als
> L = [mm]\{ \vektor{... \\
... \\
... \\
...} + s \vektor{-2 \\
1 \\
1 \\
0} + t \vektor{0 \\
-1 \\
0 \\
1} | s, t \in \IR \}[/mm]
>
> setze ich dann dort den Punkt (1, 9, 8, -1) ein?
Hallo,
nein.
Da vorne gehört ein Punkt hin, der im affinen Raum L liegt, also eine der vielen Lösungen des GSs, welches L bestimmt.
Wir haben damit dann die Parameterform von L aufgeschrieben.
Gruß v. Angela
> und mit was muss ich L dann gleich setzen? Oder muss ich
> das dann gar nicht gleich setzen?
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