Abstand zweier Vektoren im R³ < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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tach, also folgendes problem beschäftigt mich seit mittlerweile zwei Tagen:
gegeben sind 2 vektoren [mm] \overrightarrow{v1} [/mm] und [mm] \overrightarrow{v2} [/mm] der form
[mm] \vektor{x1 \\ y1\\ z1} [/mm] + s * [mm] \vektor{a1 \\ b1\\ c1}
[/mm]
und
[mm] \vektor{x2 \\ y2\\ z2} [/mm] + t * [mm] \vektor{a2 \\ b2\\ c2}
[/mm]
bis auf s und t sind alle bekannt.
die beiden vektoren sind nicht parallel, schneiden sich aber auch nicht. gesucht ist der punkt P, der zu beiden Vektoren den minimalen, gleichen, rechtwinkligen Abstand hat.
theorethisch müßte die lösung ein minima der ersten ableitung (partielle von s und t in dem fall) von
| [mm] \overrightarrow{v1}- \overrightarrow{v2} [/mm] |²
sein (das quadrat deshalb, damit die wurzel nicht so nervt).
isses aber nich... oder zumindest mache ich immer den gleichen rechenfehler. ich wäre sehr glücklich, wenn mir dabei jemand helfen könnte. oder zumindest bestätigen könnte, daß es so geht!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. ich vertraue ganz auf eure fähigkeiten und überlasse die frage ALLEIN dem matheraum.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Butzemann
> gegeben sind 2 vektoren [mm]\overrightarrow{v1}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{v2}[/mm] der form
>
>
> [mm]\vektor{x1 \\ y1\\ z1}[/mm] + s * [mm]\vektor{a1 \\ b1\\ c1}
[/mm]
>
>
> und
>
> [mm]\vektor{x2 \\ y2\\ z2}[/mm] + t * [mm]\vektor{a2 \\ b2\\ c2}
[/mm]
>
> bis auf s und t sind alle bekannt.
> die beiden vektoren sind nicht parallel, schneiden sich
> aber auch nicht. gesucht ist der punkt P, der zu beiden
> Vektoren den minimalen, gleichen, rechtwinkligen Abstand
> hat.
>
> theorethisch müßte die lösung ein minima der ersten
> ableitung (partielle von s und t in dem fall) von
>
> | [mm]\overrightarrow{v1}- \overrightarrow{v2}[/mm] |²
>
> sein (das quadrat deshalb, damit die wurzel nicht so
> nervt).
> isses aber nich... oder zumindest mache ich immer den
> gleichen rechenfehler. ich wäre sehr glücklich, wenn mir
> dabei jemand helfen könnte. oder zumindest bestätigen
> könnte, daß es so geht!
>
Doch, du hast völlig recht! So geht es tatsächlich!
Nach Pythagoras ist ja das Quadrat des Abstandes gegeben durch
[mm] $(x_1+sa_1-x_2-ta_2)^2+(y_1+sb_1-y_2-tb_2)^2+(z1+sc_1-z_2-tc_2)^2$
[/mm]
Die Ableitungen ergeben dann folgendes Gleichungssystem:
[mm] $2a_1(x_1+sa_1-x_2-ta_2)+2b_1(y_1+sb_1-y_2-tb_2)+2c_1(z_1+sc_1-z_2-tc_2)=0$
[/mm]
[mm] $-2a_2(x_1+sa_1-x_2-ta_2)-b_2(y_1+sb_1-y_2-tb_2)-2c_2(z_1+sc_1-z_2-tc_2)=0$
[/mm]
Das sollte man eindeutig nach s und t auflösen können, falls die Geraden nicht parallel sind. Falls sie parallel sind, ist die Lösung nicht eindeutig. 
Mitl lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Butzemann |
super, meine ableitung ist schonmal in Deine überführbar! trotzdem liefert mein algorithmus nur mist, wenn ich nach s bzw t auflöse und es dann ausrechnen will. dann habe ich wohl einen umformungsfehler gemacht... peinlich, peinlich.
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