Abstand zweier Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | g: [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 3} [/mm] + t* [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 6}
[/mm]
h: [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] + t* [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
Wie groß ist der Abstand von g und h |
Guten Morgen in den matheraum
Normalenvektor der Richtungsvektoren:
6x+3y+6z=0
x+3y+3z=0
ich wähle x=3, dann y=4 und z=-5
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ -5}
[/mm]
ich spanne eine Hilfsebene auf, die auch Gerade h beinhaltet
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] + t* [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 3} [/mm] r* [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ -5}
[/mm]
jetzt in Normalenform umwandeln
( [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] ) * ....... =0
so jetzt hänge ich leider, stimmt es bis hier Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mi 20.08.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> g: [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 3}[/mm] + t* [mm]\vektor{6 \\ 3 \\ 6}[/mm]
>
> h: [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}[/mm] + t* [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 3}[/mm]
>
> Wie groß ist der Abstand von g und h
> Normalenvektor der Richtungsvektoren:
>
> 6x+3y+6z=0
>
> x+3y+3z=0
>
> ich wähle x=3, dann y=4 und z=-5
>
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ -5}[/mm]
>
> ich spanne eine Hilfsebene auf, die auch Gerade h
> beinhaltet
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}[/mm] + t* [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 3}[/mm]
> + r* [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ -5}[/mm]
Da fehlt(e) ein +
> jetzt in Normalenform umwandeln
Wozu?
> ( [mm]\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}[/mm] ) * ....... =0
Du brauchst einen Vektor, der auf den Spannvektoren senkrecht steht, das geht über ein Gleichungssystem oder mit dem Kreuzprodukt.
Aber geht es nicht einfacher über den Schnittpunkt von g mit der Hilfsebene? Ich weiß nicht genau, was deine Strategie ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Danke für den Hinweis, das Kreuzprodukt
[mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 3} [/mm] X [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ -5} [/mm] = [mm] \vektor{-27 \\ 14 \\ -5}
[/mm]
so jetzt weiter
( [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] ) * [mm] \vektor{-27 \\ 14 \\ -5} [/mm] =0
( [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 3} [/mm] +t [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 6} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] ) * [mm] \vektor{-27 \\ 14 \\ -5} [/mm] =0
-8-150t=0
[mm] t=-\bruch{4}{75}
[/mm]
somit habe ich den Schnittpunkt, t in g einsetzen [mm] \vektor{ - \bruch{8}{5} \\ \bruch{11}{5} \\ \bruch{7}{5}}
[/mm]
jetzt habe ich die Lotgerade
[mm] \vektor{ - \bruch{8}{5} \\ \bruch{11}{5} \\ \bruch{7}{5}} +r\vektor{3 \\ 4 \\ -5}
[/mm]
[mm] \vektor{ - \bruch{8}{5} \\ \bruch{11}{5} \\ \bruch{7}{5}} [/mm] +r [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ -5} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] +s [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
mein Weg weiter
- r und s bestimmen
aber mit der 1. und 2. Gleichung erhalte ich [mm] r=\bruch{12}{5} [/mm] und [mm] s=\bruch{18}{5} [/mm] jetzt stimmt aber die 3. Gleichung nicht??
- Lotfußpunkt bestimmen
- Abstand von Lotfußpunkt und [mm] \vektor{ - \bruch{8}{5} \\ \bruch{11}{5} \\ \bruch{7}{5}} [/mm] bestimmen
stimmt mein Weg soweit? Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mi 20.08.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 3}[/mm] X [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ -5}[/mm] = [mm]\vektor{-27 \\ 14 \\ -5}[/mm]
>
> so jetzt weiter
>
> ( [mm]\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}[/mm] ) * [mm]\vektor{-27 \\ 14 \\ -5}[/mm]
> =0
>
> ( [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 3}[/mm] +t [mm]\vektor{6 \\ 3 \\ 6}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> ) * [mm]\vektor{-27 \\ 14 \\ -5}[/mm] =0
Warum ist die 1. Koord. des 1. Vektors auf einmal = 0?
> -8-150t=0
>
> [mm]t=-\bruch{4}{75}[/mm]
>
> somit habe ich den Schnittpunkt, t in g einsetzen [mm]\vektor{ - \bruch{8}{5} \\ \bruch{11}{5} \\ \bruch{7}{5}}[/mm]
>
> jetzt habe ich die Lotgerade
>
> [mm]\vektor{ - \bruch{8}{5} \\ \bruch{11}{5} \\ \bruch{7}{5}} +r\vektor{3 \\ 4 \\ -5}[/mm]
>
>
> [mm]\vektor{ - \bruch{8}{5} \\ \bruch{11}{5} \\ \bruch{7}{5}}[/mm]
> +r [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ -5}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}[/mm] +s
> [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 3}[/mm]
>
> mein Weg weiter
>
> - r und s bestimmen
>
> aber mit der 1. und 2. Gleichung erhalte ich
> [mm]r=\bruch{12}{5}[/mm] und [mm]s=\bruch{18}{5}[/mm] jetzt stimmt aber die
> 3. Gleichung nicht??
Dein Weg ist im Prinzip richtig, aber eben auch anfällig für Schreib- und Rechenfehler. Ich verstehe den Umweg über die Hesse-Form nicht (siehe meinen ersten Beitrag).
Gruß und Feierabend
Dieter
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Grüße in den matheraum mit neuem Anlauf, um den Abstand der beiden Geraden zu berechnen
g: [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 3} [/mm] +t [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 6}
[/mm]
h: [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] +s [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
ich berechne [mm] \vec{n}, [/mm] ein Vektor, der zu beiden Richtungsvektoren orthogonal ist
6x+3y+6z=0
x+3y+3z=0
ich habe x=3 gewählt, dann y=4 und z=-5 erhalten
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ -5}
[/mm]
[mm] |\vec{n}|=\wurzel{50}
[/mm]
[mm] =|(\vektor{2 \\ 1 \\ -1}-\vektor{0 \\ 3 \\ 3})*\bruch{1}{\wurzel{50}}*\vektor{3 \\ 4 \\ -5}|
[/mm]
[mm] =|\vektor{2 \\ -2 \\ -4}*\bruch{1}{\wurzel{50}}*\vektor{3 \\ 4 \\ -5}|
[/mm]
[mm] =\bruch{18}{\wurzel{50}}
[/mm]
habe ich damit die Aufgabe richtig gelöst?? Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mi 20.08.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> g: [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 3}[/mm] +t [mm]\vektor{6 \\ 3 \\ 6}[/mm]
>
> h: [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}[/mm] +s [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 3}[/mm]
>
> ich berechne [mm]\vec{n},[/mm] ein Vektor, der zu beiden
> Richtungsvektoren orthogonal ist
>
> 6x+3y+6z=0
> x+3y+3z=0
>
> ich habe x=3 gewählt, dann y=4 und z=-5 erhalten
>
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ -5}[/mm]
>
> [mm]|\vec{n}|=\wurzel{50}[/mm]
>
> [mm]=|(\vektor{2 \\ 1 \\ -1}-\vektor{0 \\ 3 \\ 3})*\bruch{1}{\wurzel{50}}*\vektor{3 \\ 4 \\ -5}|[/mm]
>
> [mm]=|\vektor{2 \\ -2 \\ -4}*\bruch{1}{\wurzel{50}}*\vektor{3 \\ 4 \\ -5}|[/mm]
>
> [mm]=\bruch{18}{\wurzel{50}}[/mm]
>
> habe ich damit die Aufgabe richtig gelöst??
ja, und [mm] $\bruch{18}{\wurzel{50}} [/mm] = [mm] \frac{9}{5} [/mm] * [mm] \sqrt{2}$.
[/mm]
Gruß
Will
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