Abstand zw. Flugbahnen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Do 21.03.2013 | | Autor: | appo13 |
| Aufgabe | Zwei Flugzeuge F1 und F2 fliegen an einem windstillen Tag über einem ebenen Gelände. Die Flugbewegung von F1 sei durch [mm] U1=\vektor{2 \\ -11 \\ 5} [/mm] + t [mm] \vektor{1,5 \\ 5,5 \\ 0} [/mm] , die von f2 durch [mm] u2=\vektor{15 \\ 5 \\ 4} [/mm] + t [mm] \vektor{-4 \\ -4 \\ 1} [/mm] bestimmt, wobei die Strecken in km, die Zeit t in Min. gemessen wird.
Aufgabe: Berechnen Sie den kürzsten Abstand, den die beiden Flugzeuge zueinander haben. |
Der Ansatz, den Abstand zwischen 2 Windschiefen Geraden zu berechnen, gab in der Klausur 0 Punkte. Begründung: Die beiden Flugzeuge bewegen sich ja unterschiedlich schnell. Das hatte ich nicht bedacht. Allerdings fällt mir jetzt auch keine Lösung für die Aufgabe ein, da ich nicht weiß, wie ich die Bewegungsgeschwindigkeit mit in die Rechnung einbeziehen soll.
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Hallo,
es wäre etwas aufwendig das hier zu erläutern, deshalb habe ich einen Link gesucht, der deine Frage beantwortet. Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Beste Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Do 21.03.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Zwei Flugzeuge F1 und F2 fliegen an einem windstillen Tag
> über einem ebenen Gelände. Die Flugbewegung von F1 sei
> durch [mm]U1=\vektor{2 \\
-11 \\
5}[/mm] + t [mm]\vektor{1,5 \\
5,5 \\
0}[/mm]
> , die von f2 durch [mm]u2=\vektor{15 \\
5 \\
4}[/mm] + t [mm]\vektor{-4 \\
-4 \\
1}[/mm]
> bestimmt, wobei die Strecken in km, die Zeit t in Min.
> gemessen wird.
>
> Aufgabe: Berechnen Sie den kürzsten Abstand, den die
> beiden Flugzeuge zueinander haben.
> Der Ansatz, den Abstand zwischen 2 Windschiefen Geraden zu
> berechnen, gab in der Klausur 0 Punkte. Begründung: Die
> beiden Flugzeuge bewegen sich ja unterschiedlich schnell.
> Das hatte ich nicht bedacht. Allerdings fällt mir jetzt
> auch keine Lösung für die Aufgabe ein, da ich nicht
> weiß, wie ich die Bewegungsgeschwindigkeit mit in die
> Rechnung einbeziehen soll.
Wie in dem Link von mathmetzsch erläutert wird, ist der Abstand der Flugbahnen nicht der minimale Abstand der Flugzeuge.
Aus der Gerade
[mm] f_{1}:\vec{x}=\vektor{2 \\ -11 \\ 5}+t\cdot\vektor{1,5 \\ 5,5 \\ 0} [/mm]
folgt, dass zum Zeitpunkt t das erste Flugzeug am Punkt
[mm] F_{1;t}=(2+2,5t|-11+5,5t|5) [/mm] ist
Flugzeug 2 ist zu dem Zeitpunkt t am Punkt
[mm] F_{2;t}=(15-4t|5-4t|4+t)
[/mm]
Die Lange des Verbindungsvektos
[mm] \overrightarrow{F_{2;t}F_{1;t}}=\vektor{13-6,5t\\-16-9,5t\\-1-t}
[/mm]
gibt dir den Abstand der beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt t an
Also gilt für diesen Abstand a(t):
[mm] a(t)=\sqrt{(13-5,6t)^{2}+(-16-9,5t)^{2}+(-1-t)^{2}}
[/mm]
Minimiere nun diesen Abstand.
Dabei kannst du dir zunutze machen, dass die Wurzel an der Zeit des minimalen Abstandes nichts ändert, es reicht also die "Minimalzeit" über die Funktion
[mm] \overline{a}(t)=(13-5,6t)^{2}+(-16-9,5t)^{2}+(-1-t)^{2} [/mm] zu bestimmen
Für den Konkreten Abtand benötigst du dann natürlich noch die Wurzel.
Marius
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