Abstand zur Kugel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Gegeben sind die Kugeloberfläche x²+y²+z²=1 und ein Punkt P mit den Koordinaten (a,b,c) außerhalb der Kugel, d.h. mit a²+b²+c²>1.
Man bestimme den Abstand des punktes P von der Kugel und zeige, dass die Abstandslinie durch den Kugelmittelpunkt geht. |
Guten Abend!
Meine Zielfunktion(abstand) müsste sein f(x,y,z) = [mm] \wurzel{(x-a)² + (y-b)² + (z-c)²} [/mm] und die Nebenbedingung g(x,y,z)= x²+y²+z²-1=0.
F(x,y,z) ist dann F(x,y,z)= f(x,y,z) - [mm] \lambda [/mm] g(x)
hab dieses LGS:
[mm] 2x-2\lambda [/mm] x - 2a = 0
2y - [mm] 2\lambda [/mm] y - 2b =0
[mm] 2z-2\lambdaz-2c [/mm] = 0
x²+y²+z²-1=0
aufgelöst und bekomm für
[mm] \lambda [/mm] = - [mm] \wurzel{a²+b²+c²} [/mm] + 1
x= [mm] \bruch{a}{1 - \lambda}
[/mm]
y= [mm] \bruch{b}{1 - \lambda}
[/mm]
z = [mm] \bruch{c}{1 - \lambda}
[/mm]
stimmt das so weit??
nur wie kann ich zeigen dass die Abstandslinie durch den Kugelmittelpunkt geht?? *noidea*
viele grüße
riley
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Riley.
> $ [mm] 2x-2\lambda [/mm] $ x - 2a = 0
> 2y - $ [mm] 2\lambda [/mm] $ y - 2b =0
Wie kommst du hierauf?
Ich habe auch gerechnet und erhalte durch Lagrange die Gleichung
[mm] $\vektor{\frac{x-a}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}}\\ \frac{y-b}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}}\\ \frac{z-c}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}}} [/mm] = [mm] 2\lambda\vektor{x\\ y\\ z}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 27.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Hanno!!
Weil wir gelernt haben (wenn [mm] g(x_i) [/mm] Nebenbedingungen und f(x)Zielfunktion):
F = f - [mm] \summe_{i=1}^{r} \lambda_i g_i(x)
[/mm]
und dann sollen wir folgendes LGS betrachten:
[mm] \bruch{dF}{dx_1} [/mm] = 0
[mm] \bruch{dF}{dx_2}=0
[/mm]
...
[mm] \bruch{dF}{dx_n}=0
[/mm]
[mm] g_1(x) [/mm] = 0
...
[mm] g_r(x) [/mm] = 0
wobei bei dieser aufgabe ja nur eine nebenbed. also r=1.
und unser tutor hat gemeint wir können die wurzel bei der abstandsfunktion weglassen, da es dann einfacher zum rechnen wird.
wär cool, wenn du mir da noch weiterhelfen könntest...
viele grüße
riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Riley.
Alles klar, dann verstehe ich :) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> x= $ [mm] \bruch{a}{1 - \lambda} [/mm] $
> y= $ [mm] \bruch{b}{1 - \lambda} [/mm] $
> z = $ [mm] \bruch{c}{1 - \lambda} [/mm] $
Wunderbar. Wenn du dies ein wenig geschickter schreibst, steht sofort da, was du haben möchtest:
[mm] $1-\lambda [/mm] = [mm] \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$
[/mm]
Damit sind $(x,y,z)$ und $(a,b,c)$ linear abhängig. Was folgt daraus für die Verbindungsstrecke?
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Riley |
HI Hanno!
Danke für deine Antwort. Hat es damit zu tun, dass der GradF(x) senkrecht auf der Kugeloberfläche steht?
hm, wenn (a,b,c) und (x,y,z) lin abh. dann sind sie ein vielfaches voneinander oder parallel?? aber was meinst du folgt für die verbindungsstrecke?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
viele grüße
riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Riley.
Nun, nehmen wir an, dass $(x,y,z)=k(a,b,c)$ für ein [mm] $k\in\IR\setminus\{0,1\}$. [/mm] Dann wird die Gerade durch $(a,b,c)$ und $(x,y,z)$ durch [mm] $g:\IR\to\IR^3, g(t)=(a,b,c)+t\cdot((x,y,z)-(a,b,c))$ [/mm] parametrisiert. Wegen [mm] $g(t)=(a,b,c)+t\cdot [/mm] (k(a,b,c)-(a,b,c))=(a,b,c)(1+t(k-1))$ brauchst du $t$ nur so zu wählen, dass $1+t(k-1)=0$ gilt und siehst dadurch ein, dass der Ursprung auf der Geraden durch $(a,b,c)$ und $(x,y,z)$. Das ist eine rechnerische Lösung, anschaulich sollte es auch einleuchtend sein.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Riley |
hi Hanno!!
ah okay, vielen dank für deine erklärung!!! so ist das einleuchtend, stimmt... :)
gruß riley
|
|
|
|
