Abstand zum Ellipsoid < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Folgende Aufgabe:
Ich muss den Abstand des Punktes [mm] P=(2\wurzel{2},\bruch{5}{\wurzel{2}},0)\in\IR^{3} [/mm] zur Oberfläche des Ellipsoid [mm] E:=\{(x,y,z)\in\IR^{3}|(\bruch{x}{2})^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1\} [/mm] bestimmen.
Meine Idee ist die folgende: Für den Ellipsoid gilt ja a=4, b=1, c=1. Da der Punkt auf der x,y-Ebene liegt, genügt es, die Gleichung ohne z zu betrachten....somit wäre das Problem auf den [mm] \IR^{2} [/mm] reduziert. Allerdings kann ich keine Beziehung zwischen [mm] (\bruch{x}{2})^{2}+y^{2} [/mm] und P herstellen.....
Kann mir jemand weiterhelfen?
|
|
| |
|
Hallo, Wurzelquadrat
Du mußt eben die Normale auf die Ellipse suchen
die durch den gegebenen Punkt geht,
also für $n(p,x) = y(p) - [mm] (x-p)*\frac{1}{y'(p)}$
[/mm]
jenes $p$ bestimmen für das [mm] $n(p,2\sqrt{2}) [/mm] = [mm] \frac{5}{\sqrt{2}}$ [/mm] gilt.
Damit hast Du den Punkt auf der Ellipse und damit
den Abstand
|
|
|
| |
|
> Hallo, Wurzelquadrat
>
> Du mußt eben die Normale auf die Ellipse suchen
> die durch den gegebenen Punkt geht,
>
> also für [mm]n(p,x) = y(p) - (x-p)*\frac{1}{y'(p)}[/mm]
> jenes [mm]p[/mm]
> bestimmen für das [mm]n(p,2\sqrt{2}) = \frac{5}{\sqrt{2}}[/mm]
> gilt.
> Damit hast Du den Punkt auf der Ellipse und damit
> den Abstand
Soweit alles klar, vielen Dank. Aber was bedeutet in diesem Zusammenhang y(p)? Welche Funktion ist das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Di 05.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
y(p) ist der Zweig der Ellipse! Wenn du das nicht siehst, wieso dann alles klar? p=x-wert im Treffpkt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> y(p) ist der Zweig der Ellipse! Wenn du das nicht siehst,
> wieso dann alles klar? p=x-wert im Treffpkt.
> Gruss leduart
Alles klar bzgl. der Theorie.....
Für den Zweig gilt: [mm] \bruch{x^{2}}{4}+y^{2}=1 \Rightarrow y=\wurzel{1-\bruch{x^{2}}{4}}. [/mm] Ist das richtig?
Somit wäre [mm] n(p,x)=\wurzel{1-\bruch{x^{2}}{4}}-(x-p)\cdot\bruch{-\bruch{x}{2}}{\wurzel{1-\bruch{x^{2}}{4}}}
[/mm]
Aber für [mm] x=2\wurzel{2} [/mm] wäre die Wurzel in beiden Fällen negativ....
Wo liegt dann der Fehler?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Mi 06.07.2005 | | Autor: | leduart |
> Für den Zweig gilt: [mm]\bruch{x^{2}}{4}+y^{2}=1 \Rightarrow y=\wurzel{1-\bruch{x^{2}}{4}}.[/mm]
> Ist das richtig?
ja
> Somit wäre
> [mm]n(p,x)=\wurzel{1-\bruch{x^{2}}{4}}-(x-p)\cdot\bruch{-\bruch{x}{[red]2[/red]}}{\wurzel{1-\bruch{x^{2}}{4}}}[/mm]
1. die 2 muss 4 sein!
2. duhast doch eine Geradengleichung, Steigung y'(p) und Punkt (p,y(p))
Was du da stehen hast ist keine Gerade! pwillst du bestimmen, es liegt auf der Ellipse auf der Normalen muss dann der gegebene Punkt liegen. Lies nochmal das erst Posting!
> Aber für [mm]x=2\wurzel{2}[/mm] wäre die Wurzel in beiden Fällen
was sind "beide" Fälle?.
>
> Wo liegt dann der Fehler? >
siehst dus jetzt
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
[mm]n(p,x)=\wurzel{1-\bruch{x^{2}}{4}}-(x-p)\cdot\bruch{-\bruch{x}{[red] 2 [/red]}}{\wurzel{1-\bruch{x^{2}}{4}}}[/mm]
> 1. die 2 muss 4 sein!
Wieso? Wenn ich [mm] \bruch{x^{2}}{4} [/mm] ableite, kommt doch [mm] \bruch{x}{2} [/mm] raus!
Der Rest passt jetzt, danke!
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Das stimmt schon, aber ...
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
