Abstand windschiefer Geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Community,
ich habe zur Zeit ein Problem mit einer eher ungewöhnlichen Aufgabe. Ich soll die Berechnung des Abstandes windschiefer Geraden verschriftlichen und jeden Schritt den man machen muss erläutern und begründen.
Das Problem jedoch ist das ich mich bisher mehr schlecht als recht durch das Thema geboxt habt und ich genauere Erläuterungen und Begründungen gar nicht kenne, sondern mich immer von Rechnung zu Rechnung gehangelt hab.
Kann mir jemand jetzt vielleicht Schritt für Schritt mit Erläuterung erklären wie man den Abstand berechnet ? Also ich weiss das es mit dem Lotfußpunktverfahren zu tun hat und man wieder Bedingungen aufstellen muss um dann mit Hilfe des Skalarprodukts etc. weiterzurechnen. Aber da das diesmal 2 Geraden sind müssn ja auch 2 Parameter, also [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] berechnet werden oder ? Dann spielt ja auch wieder ein lineares Gleichungssystem mit rein, soweit ich mich erinnere. Wie gesagt, meine Kenntnisse sind eher grundlegend, wie genau ich die jetzt verwende, das müsste ich wissen.
Wäre lieb wenn mir jemand das etwas ausführlicher erklären könnte, weil ich, wie gesagt, kaum was verstehe was mein Lehrer da von mir verlangt :)
Vielen dank schon mal im vorraus,
mfg
Absoluter Beginner
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nimm einmal zwei Stifte. Den einen legst du vor dich auf den Tisch, den andern hältst du in die Luft, und zwar so, daß er parallel zur Tischebene verläuft, aber quer zum Stift auf dem Tisch. Das veranschaulicht zwei windschiefe Geraden. Ihr Abstand ist doch nichts anderes als der Abstand der Luftgeraden zum Tisch. Und das ist wiederum nichts anderes als der Abstand eines beliebigen Punktes der Luftgeraden zum Tisch. Damit ist das Problem "Abstand windschiefer Geraden" auf das Problem "Abstand Punkt-Ebene" zurückgeführt. Und das wird mit der HNF behandelt.
Jetzt bleibt nur doch die Frage: Wie findest du eine Normalenform für die Tischebene? Das ist aber auch nicht schwer. Punkte der Tischebene hast du genügend zur Verfügung (nämlich alle Punkte der Tischgeraden) - und einen einzigen brauchst du nur. Jetzt fehlen dir nur noch zwei Richtungsvektoren, um dir daraus einen Normalenvektor zu basteln. Und diesen letzten Schritt solltest du nun selbst tun ...
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Erstmal vielen dank für die Antwort, aber ich habe keine Ahnung was ein HNF ist oder was "Abstand-Punkt-Ebene" bedeutet, wie gesagt, ich habe keine Ahnung, und ich würde mich lieber über eine Schritt für Schritt Antwort freuen, wo ich jeden Schritt nachvollziehen kann.
Deine Veranschaulichung hat mir eigentlich nicht geholfen, sprich, ich versteh genauso viel wie vorher.
Vielleicht kann mir das jemand anhand des Beispiels erklären, das wir erläutern sollen.
Es gibt jeweils Punkt A mit den Koordinaten (0/4/2) und dem dazugehörigen Vektor mit den Komponenten (200/-100/0)
Dann noch Punkt B mit den Koordinaten (3/0/3) und dem dazugehörigen Vektor mit den Komponenten (0/500/-100)
So, ich hoffe das hilft vielleicht etwas. Es wär nett wenn mir das jemand besser und genauer erklären könnte, weil ich in Mathe nie besser als vier minus stehe und ich insofern ne Erklärung Schritt für Schritt in einfachen, logischen Beschreibungen besser verstehen könnte. Ich kenn, wie gesagt, die Grundbegriffe, aber weit davon kann ich mich net entfernen.
Die Aufgabe habe ich schon berechnet, so ist das nicht, aber das meiste hab ich im Unterricht einfach abgeschrieben ohne irgendwas wirklich zu verstehen, WARUM und WIESO man etwas macht.
Vielen dank im vorraus
mfg
Absoluter Beginner
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Hallo AbsoluterBeginner,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Vielleicht kann mir das jemand anhand des Beispiels
> erklären, das wir erläutern sollen.
>
> Es gibt jeweils Punkt A mit den Koordinaten (0/4/2) und dem
> dazugehörigen Vektor mit den Komponenten (200/-100/0)
Das ist jetzt mal die Gerade g:
[mm]g:\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow {p_A } \; + \;\lambda \;\overrightarrow {v_A } [/mm]
mit
[mm]\overrightarrow {p_A } \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
4 \\
2 \\
\end{array} } \right),\;\overrightarrow {v_A } \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{200} \\
{ - 100} \\
0 \\
\end{array} } \right)
[/mm]
>
> Dann noch Punkt B mit den Koordinaten (3/0/3) und dem
> dazugehörigen Vektor mit den Komponenten (0/500/-100)
Das ist jetzt die Gerade h:
[mm]h:\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow {p_{B_{} } } \; + \;\mu \;\overrightarrow {v_B } [/mm]
mit
[mm]
\overrightarrow {p_B } \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
0 \\
3 \\
\end{array} } \right),\;\overrightarrow {v_B } \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
{500} \\
{ - 100} \\
\end{array} } \right)
[/mm]
Nun sei [mm]P_{1}[/mm] ein Punkt auf der Geraden g und [mm]P_{2}[/mm] ein Punkt auf der Geraden h.
Der Vektor [mm]\overrightarrow {P_2 P_1 } [/mm] muß nun senkrecht auf den Vektoren [mm]\overrightarrow {v_A }[/mm] und [mm]
\overrightarrow {v_B } [/mm] stehen. (Minimalität des Abstandes)
Senkrecht stehen heisst, daß das Skalarprodukt der Vektoren [mm]\overrightarrow {P_2 P_1 } [/mm] und [mm]\overrightarrow {v_A }[/mm] bzw [mm]\overrightarrow {P_2 P_1 } [/mm] und [mm]\overrightarrow {v_B }[/mm] 0 ergibt, also ein rechter Winkel besteht.
Demnach müsen folgende Gleichungen gelten:
[mm]
\begin{gathered}
\overrightarrow {P_2 P_1 } \;\overrightarrow {v_A } \; = \;0 \hfill \\
\overrightarrow {P_2 P_1 } \;\overrightarrow {v_B } \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dies sind 2 Gleichungen in 2 Unbekannten, woraus sich die Parameter
[mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] ergeben.
Gruß
MathePower
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