Abstand von Punkt zur Gerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Di 07.12.2010 | | Autor: | VecFlo |
Meine Frage:
Brauche dringend die lösung und ein paar erklärungen zu dieser Aufgabe, muss Freitag vortsellen, wenn ich das nicht gut mache, bleibe ich wegen meinem p6 Fach mathe sitzen.
Folgende Aufgaben:
1. Gegeben ist die Ebene E:10X1+2X2−11X3=4 und der in E liegende Punkt Q(3,−2,2).
a) Stellen Sie eine Gleichung der Geraden g durch den Punkt Q auf, die orthogonal zu E ist.
b)Bestimmen Sie alle Punkte P der Geraden g, die von der Ebene E den Abstand 3 haben.
2. Gegeben sind die Ebene E:X1−2X2−2X3=8 und der Punkt A(−2,1,−3).
a) Bestimmen Sie den Fußpunkt des Lotes vom Punkt A auf die Ebene E.
b) Welcher Punkt B(ungleich A) der Lotgeraden hat denselben Abstand von der Ebene E wie der Punkt A? Bestimmen Sie seine Koordinaten. Müssen Sie dazu den Abstand berechnen?
Meine Ansätze:
1)a) In welcher Form liegt die Ebene vor und was kann man aus dieser Form ablesen? Sie liegt doch schon in der Normalenform vor oder ?
1)b) Wie berechnet man am einfachsten den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene?
In dem man eine Hilfsebene zur Ebene bildet und damit dann zunächst den Abstand zum Punkt berechnet ???
2)a) Tipp: Hilfsgerade mit entsprechenden Eigenschaften aufstellen.
2)b) Baut auf a auf.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.onlinemathe.de/forum/Aufgaben-zu-Ebenen]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi VecFlo,
> Meine Frage:
> Brauche dringend die lösung und ein paar erklärungen zu
> dieser Aufgabe, muss Freitag vortsellen, wenn ich das nicht
> gut mache, bleibe ich wegen meinem p6 Fach mathe sitzen.
>
> Folgende Aufgaben:
>
> 1. Gegeben ist die Ebene E:10X1+2X2−11X3=4 und der in E
> liegende Punkt Q(3,−2,2).
> a) Stellen Sie eine Gleichung der Geraden g durch den
> Punkt Q auf, die orthogonal zu E ist.
> b)Bestimmen Sie alle Punkte P der Geraden g, die von der
> Ebene E den Abstand 3 haben.
>
> 2. Gegeben sind die Ebene E:X1−2X2−2X3=8 und der Punkt
> A(−2,1,−3).
> a) Bestimmen Sie den Fußpunkt des Lotes vom Punkt A auf
> die Ebene E.
> b) Welcher Punkt B(ungleich A) der Lotgeraden hat
> denselben Abstand von der Ebene E wie der Punkt A?
> Bestimmen Sie seine Koordinaten. Müssen Sie dazu den
> Abstand berechnen?
>
> Meine Ansätze:
>
> 1)a) In welcher Form liegt die Ebene vor und was kann man
> aus dieser Form ablesen?Sie liegt doch schon in der
> Normalenform vor oder ?
Nein, das ist die ![[]](/images/popup.gif) Koordinatenform. Da kann man allerdings leicht einen Normalenvektor ablesen. Klick den Link.
> 1)b) Wie berechnet man am einfachsten den Abstand von
> einem Punkt zu einer Ebene?
Das ist ja eigentlich nicht die Frage bei der b),sondern so das Thema dieser Überlegungen. Aber wenn du es schonmal wissen willst (also quasi die Zusammenfassung):
Den Abstand eines Punktes P von einer Ebene E bestimmt man, indem man
1. eine zu E senkrechte Gerade durch P aufstellt und
2. den Schittpunkt (den sog. Fusspunkt) F von E und g berechnet.
3. Der Abstand von P zu E ist gleich dem Abstand von P zu F, da g senkrecht zu E verläuft.
> In dem man eine Hilfsebene zur Ebene bildet und damit dann
> zunächst den Abstand zum Punkt berechnet ???
Nee, das würde ich bei der b) foldendermassen machen: Du hast ja bereits Q als gemeinsamen Punkt von g und E. Q liegt also in g und der Abstand zu E ist Null. Wenn du jetzt entlang g läufst, d.h. ein Vielfaches des (bzw. eines, es gibt ja mehrer Mögliche) Richtunsvektors von g (welcher gleich einem Normalenvektor von E ist) zu Q addierst, bleibst du auf g. Nur der Abstand zu E ändert sich.
Jetzt kommt der Kniff: Da es wie gesagt mehrere mögliche Richtungsvektoren gibt, wähle einen, der die Länge 1 hat. Einen solchen Vektor nennt man normiert oder auch Einheitsvektor. Einen Vektor normiert man, indem man ihn durch seinen Betrag (seine Länge) dividiert.
Dann musst du von Q aus, nur drei mal diesen normierten Vektor addieren, bzw. dreimal subtrahieren, dann landest du bei den beiden Punkten, die jeweils den Abstand 3 zur Ebene haben, einmal auf der einen, einmal auf der anderen Seite der Ebene und jeweils auf der Geraden. Ist hoffentlich einleuchtend, dass wenn man von einem Punkt, der Abstand zu E gleich Null hat, 3 mal einen Vektor, der senkrecht ist und Länge 1 hat (Normaleneinheitsvektor) addiert/subtrahiert, landet man bei einem Punkt,der Abstand zu E gleich 3 hat.
>
> 2)a) Tipp: Hilfsgerade mit entsprechenden Eigenschaften
> aufstellen.
Genau. Gerade aufstellen, die senkrecht zu E ist (Richtungsvektor von g= Normalenvektor von E) und durch A geht. Schnittpunkt von g und E ist Fusspunkt F.
> 2)b) Baut auf a auf.
Hehe, na klar  Wenn du von A aus [mm] \overrightarrow{AF} [/mm] addierst, landest du bei F, klar. Wenn du von F aus nochmal [mm] \overrightarrow{AF} [/mm] addierst, landest du auf der anderen Seite der Ebene und dieser Punkt hat denselben Abstand zu E wie A. Du brauchst den Abstand an sich dazu nicht zu kennen. Es wäre natürlich gerade die Länge von [mm] \overrightarrow{AF}.
[/mm]
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [http://www.onlinemathe.de/forum/Aufgaben-zu-Ebenen]
>
Alles klar?
LG walde
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