Abstand von E zu 0 < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gib eine Koordinatengleichung für E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -3} [/mm] + s* [mm] \vektor{-5 \\ 0 \\ 7} [/mm] + t* [mm] \vektor{-9 \\ -6 \\ 9} [/mm] an. Bestimme den Abstand von E zu 0. |
Hallo!
So ich habe den ersten Teil der Aufgabe jetzt ohne Probleme und hoffentlich richtig gelöst:
Parameterform:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -3} [/mm] + s* [mm] \vektor{-5 \\ 0 \\ 7} [/mm] + t* [mm] \vektor{-9 \\ -6 \\ 9}
[/mm]
Koordinatenform:
E: [mm] 7x_{1} [/mm] - [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] = -7
Leider stehe ich von da an auf dem Schlauch und kann mir nicht erklären, wie ich den Abstand von besagter Ebene zum Ursprung bestimmen soll.
Vielleicht hat hier ja jemand eine zündende Idee, die mir weiter helfen könnte?!
Eure Summer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Sa 01.09.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Die Koordinatenform passt.
Kennst du schon die Normalenform? Die kannst du ja quasi aus der Koordinnatenform ablesen, hier also:
[mm] E:\vektor{7\\\-3\\5}*\vec{x}=-7.
[/mm]
Der Vektor [mm] \vec{n}=\vektor{7\\\-3\\5} [/mm] ist ja der Normalenvektor der Ebene.
Jetzt bilde mal folgende Hilfsgerade:
[mm] g:\underbrace{\vektor{0\\0\\0}}_{\text{Punkt, zu dem du den Abstand suchst.}}+\underbrace{\lambda}_{\text{Parameter}}*\underbrace{\vektor{7\\-3\\5}}_{\vec{n}}
[/mm]
Dann berechnest du den Schnittpunkt S der Gerade mit der Ebene E. Die Länge des dann noch zu bestimmenden Vektors [mm] \overrightarrow{OS} [/mm] ist der gesuchte Abstand.
Marius
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Hallo,
ergänzend zu M.Rex:
wenn Ihr die Hessesche Normalenform hattet, ist es das bequemste, die Normalenform der Ebene,
[mm] \vektor{7\\\-3\\5}\cdot{}\vec{x}=-7 [/mm] ,
zu normieren, d.h. (auf beiden Seiten!) durch die Länge des Vektors [mm] \vektor{7\\\-3\\5} [/mm] zu dividieren. Dann hast Du rechts direkt den Abstand zum Ursprung stehen.
Gruß v. Angela
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So, erstmal vielen Dank für eure Antworten!
Leider hatten wir bisher weder die Hessesche Normalenform noch diese "andere" Normalenform, die M.Rex mir gezeigt hat. Das könnte damit zusammenhängen, dass unser Mathelehrer bisher das Thema "Skalarprodukt" umgangen ist. Jedenfalls habe ich jetzt gehofft, dass ich die Aufgabe auch ohne das Skalarprodukt lösen kann.
Ich habe jetzt trotzdem mal versucht, das zumachen, was M.Rex vorgeschlagen hat. Dabei kam raus: [mm] t=-\bruch{7}{83} [/mm] und somit S [mm] \vektor{-\bruch{49}{83} \\ \bruch{147}{83} \\ \bruch{735}{83}}
[/mm]
Das ganze sieht also schon irgendwie ziemlich merkwürdig aus und weiter weiß ich jetzt auch nicht wirklich. Wie genau bekomme ich denn die Länge?
Summer
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> Jedenfalls habe ich jetzt gehofft, dass ich die Aufgabe
> auch ohne das Skalarprodukt lösen kann.
Ja, dann ist der von MRex aufgezeigte Weg der richtige.
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>Dabei kam raus: [mm]t=-\bruch{7}{83}[/mm]
> und somit S [mm]\vektor{-\bruch{49}{83} \\ \bruch{147}{83} \\ \bruch{735}{83}}[/mm]
>
> Das ganze sieht also schon irgendwie ziemlich merkwürdig
> aus
Na, so irre merkwürdig wäre das nicht - aber ich habe den fürchterlichen Verdacht, daß Du Dich verrechnet hast: der errechnete Schnittpunkt sollte ja durchaus in der Ebene liegen, und das tut er nicht. Ich fürchte, Du mußt nochmal rechnen.
Nehmen wir aber mal kurz an, daß es der richtige Schnittpunkt wäre. Was wäre das für ein Punkt? Erläge in der Ebene, und sein Ortsvektor stünde senkrecht auf der Ebene (so war ja gerade die Gerade, mit der Du schneidest, gewählt).
Du müßtest nun also nur noch die Länge von von [mm] \vektor{-\bruch{49}{83} \\ \bruch{147}{83} \\ \bruch{735}{83}} [/mm] bestimmen. Wenn S richtig wäre.
Eine Frage nun aber kommt mir, weil Du sagst, daß Ihr das Skalarprodukt nicht hattet: daß Ihr aus der Koordinatenform einen zur Ebene senkrechten Vektor erhalten könnt, wißt Ihr?
Denn das hatte M.Rex ja verwendet, um auf die Hilfsgerade zu kommen.
Gruß v. Angela
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> Eine Frage nun aber kommt mir, weil Du sagst, daß Ihr das
> Skalarprodukt nicht hattet: daß Ihr aus der Koordinatenform
> einen zur Ebene senkrechten Vektor erhalten könnt, wißt
> Ihr?
Offen gestanden, auch das wissen wir eigentlich noch nicht, aber vielleicht sollten wir da ja selber drauf kommen?! Und das ist, wenn man es mal weiß, auch nicht so schwer zu verstehen.
Jedenfalls komme ich hier nicht weiter und den Fehler habe ich auch nicht gefunden. Ich wäre also sehr froh, wenn sich jemand nochmal mit der Sache beschäftigen würde und mir dann sagen könnte, wo das Problem liegt.
Lg, Summer
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> Jedenfalls komme ich hier nicht weiter und den Fehler habe
> ich auch nicht gefunden. Ich wäre also sehr froh, wenn sich
> jemand nochmal mit der Sache beschäftigen würde und mir
> dann sagen könnte, wo das Problem liegt.
Hallo,
gewiß wird das jemand tun.
Aber Du mußt nun mal Deine Rechnung einstellen, damit wir gucken können, wo der Fehler liegt.
Gruß v. Angela
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Gut, also hier die Rechnungen:
Parameterform:
E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ -3}[/mm] + s [mm]\vektor{-5 \\ 0 \\ 7}[/mm] + t [mm]\vektor{-9 \\ -6 \\ 9}[/mm]
Koordinatenform:
E: [mm]7x_{1}[/mm] - [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]5x_{3}[/mm] = -7
Das müsste nach M.Rex stimmen...
Hilfsgerade [mm]g:\underbrace{\vektor{0\\0\\0}}_{\text{Punkt, zu dem du den Abstand suchst.}}+\underbrace{\lambda}_{\text{Parameter}}*\underbrace{\vektor{7\\-3\\5}}_{\vec{n}}[/mm] in die in Koordinatenform gegebene Ebene einsetzten:
[mm] 7(7\lambda)-3(-3\lambda)+5(5\lambda)=-7
[/mm]
[mm] \gdw 49\lambda+9\lambda+25\lambda=-7
[/mm]
[mm] \gdw 83\lambda=-7
[/mm]
[mm] \gdw \lambda=-\bruch{7}{83}
[/mm]
Um den Schnittpunkt zu bekommen [mm] \lambda=-\bruch{7}{83} [/mm] in die Hilfsgerade einsetzen und daraus folgt dann, wie unschwer zu erkennen ist, soetwas: S [mm]\vektor{-\bruch{49}{83} \\ \bruch{147}{83} \\ \bruch{735}{83}}[/mm]
Ich hoffe jemand erkennt das Problem und sagt mir dann auch wie die Länge rauszubekommen ist.
Danke schon einmal für die Mühe. Summer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Summer!
Du hast Dich bei der Ermittlung des Durchstoßpunktes verrechnet:
[mm] $\vec{x}_S [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0\\0\\0}-\bruch{7}{83}*\vektor{7\\-3\\5} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-\bruch{49}{83}\\+\bruch{\red{21}}{83}\\-\bruch{\red{35}}{83}}$
[/mm]
Die Länge dieses Ortsvektors erhältst Du über folgende Formel:
[mm] $$\left| \ \vec{x} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2}$$
[/mm]
Da solltest Du dann [mm] $\bruch{7}{\wurzel{83}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{7}{83}*\wurzel{83} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.768$ erhalten.
Gruß
Loddar
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Vielen Dank schon mal dafür.
Allerdings wie kommst du auf diese Formel? > Die Länge dieses Ortsvektors erhältst Du über folgende
> Formel:
>
> [mm]\left| \ \vec{x} \ \right| \ = \ \wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
>
> Da solltest Du dann [mm]\bruch{7}{\wurzel{83}} \ = \ \bruch{7}{83}*\wurzel{83} \ \approx \ 0.768[/mm]
> erhalten.
Gibt es da keine andere Möglichkeit?
Lg Summer
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> Allerdings wie kommst du auf diese Formel?
Ich bin mir ziemlich sicher, daß Ihr den Betrag eines Vektors (seine Länge) schon hattet.
Wenn nicht, zeichne Dir mal z.B. den Vektor (2,5) in ein Koordinatnsystem und berechne seine Länge. Entsprechend ist das ins Dreidimensionale zu übertragen.
Du erhältst: Vektorlänge= Wurzel aus dem Quadrat der Koordinaten.
Genau das hat Loddar ausgerechnet:
> > [mm]\left| \ \vec{x} \ \right| \ = \ \wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
> >
> > Da solltest Du dann [mm]\bruch{7}{\wurzel{83}} \ = \ \bruch{7}{83}*\wurzel{83} \ \approx \ 0.768[/mm]
> > erhalten.
>
> Gibt es da keine andere Möglichkeit?
Naja, Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und daraus die Wurzel ginge auch. Es kommt übrigens dassselbe raus. Wär' ja auch schlimm sonst.
Gruß v. Angela
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