Abstand eines Punktes von < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!!
Ich hab schon wieder eine Aufgabe von der Tafel abgeschrieben, die kich nicht ganz verstehe.
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] k*\vec{u} [/mm] und [mm] \vec{u} \not= [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] k [mm] \in \IR
[/mm]
d(p;g) soll berechnet werden
dabei ist d(p;g)= l(P,L) schon diesen Ansatz verstehe ich nicht.
Weiterhin ist gegeben P(3,-4,2) [mm] \wedge [/mm] g: [mm] \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix}1\\- \\2\end{pmatrix} \wedge [/mm] k [mm] \in [/mm] R
Normalenvektor: [mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{u}*( \vec{x} [/mm] - [mm] \vec{p})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}*(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix} [/mm] )=0
[mm] \Rightarrow x_1-3*x_2+2*x_3-19=0
[/mm]
Nun kommt mein Lehrer auf die Rechnung:
2+k-3*(1-3k)+2*(2*k)+19=0 wie kommt er darauf???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Di 22.11.2005 | | Autor: | Benni_K |
Hallo!
Also die Angaben lauten: [mm] g: \vec{x} = \pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 } + k \pmat{ 1 \\ -3 \\ 2 } [/mm] ; [mm] P(3/-4/2) [/mm]
Die Aufgabe lautet nun, den Abstand des Punktes auf die Gerade zu ermitteln. Zuerst müssen wir uns fragen, was mit dem Abstand gemeint ist. Mit dem Abstand ist gemeint, dass von der Geraden ein Lot durch den Punkt P gefällt wird. Somit haben wir zwei Bedingungen. Die Lotgeraden steht senkrecht auf g und geht durch P. Den Lotfußpunkt, d.h. der Punkt, von dem aus das Lot auf P gefällt wird, nennen wir F. F lautet ganz allgemein: [mm] \vec{F} = \pmat{ 2 + k \\ 1 - 3k \\ 0 + 2k } [/mm]. Wir suchen jedoch die erst einmal die Strecke [mm] \vec{PF} [/mm].
[mm] \vec{PF} = \vec{F} - \vec{P} = \pmat{ 3 - 2 - k \\ - 4 - 1 + 3k \\ 2 - 0 + 2k } [/mm]. Jetzt wissen, wir dass diese Strecke senkrecht auf der Gerade steht. Somit führen wir eine Skalarmultiplikation zwischen der allgemeinen Geraden und dem Richtungsvektor der Geraden durch. [mm] \pmat{ 3 - 2 - k \\ - 4 - 1 + 3k \\ 2 - 0 + 2k } \cdot \pmat{ 1 \\ - 3 \\ 2 } = 0 = 1 - k + 15 - 9k + 4 - 4k = 20 - 14k ; k = \bruch{10}{7} [/mm]. Setzt man jetzt k in den allgemeinen Lotfußpunkt F ein, hat man sofort den Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Geraden g. Will man den Abstand des Punktes zur Geraden, setzt man k in die allgemeinen Lotgeraden ein und rechnet den Betrag aus.
Ich bin jetzt nicht genau auf die Tafelanschrift deines Lehrers eingegangen, aber die Hauptaufgabe, nämlich den Abstand zwischen Punkt und Gerade herauszufinden, ist mit der Methode möglich.
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hallo
erstmals danke für deine antwort.
ich hab trotzdem 2 weitere fragen:
wie kommst du erstens auf [mm] \vec{F} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 + k \\ 1 - 3k \\ 0 + 2k } [/mm] ???
Wieso ist das so??
wieso ist es gleichzusetzen mit [mm] \vec{x}??
[/mm]
Meine zweite Frage bezieht sich auf: [mm] \vec{PF} [/mm] = [mm] \vec{F} [/mm] - [mm] \vec{P} [/mm] = [mm] \pmat{ 3 - 2 - k \\ - 4 - 1 + 3k \\ 2 - 0 + 2k }
[/mm]
Ist es nicht folgendermaßen??: 0= [mm] \vec{F} [/mm] + [mm] \vec{PF} [/mm] - [mm] \vec{P} \gdw \vec{PF} [/mm] = [mm] \vec{P} [/mm] - [mm] \vec{F} [/mm] ???
wenn nein, wieso???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo NRWFistigi,
> hallo
>
> erstmals danke für deine antwort.
> ich hab trotzdem 2 weitere fragen:
>
> wie kommst du erstens auf [mm]\vec{F}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 + k \\ 1 - 3k \\ 0 + 2k }[/mm]
> ???
> Wieso ist das so??
> wieso ist es gleichzusetzen mit [mm]\vec{x}??[/mm]
Der Punkt F (Fußpunkt des Lotes von P auf g) liegt doch auf der Geraden g, also muss sein Ortsvektor die Geradengleichung erfüllen.
>
> Meine zweite Frage bezieht sich auf: [mm]\vec{PF}[/mm] = [mm]\vec{F}[/mm] -
> [mm]\vec{P}[/mm] = [mm]\pmat{ 3 - 2 - k \\ - 4 - 1 + 3k \\ 2 - 0 + 2k }[/mm]
>
> Ist es nicht folgendermaßen??: 0= [mm]\vec{F}[/mm] + [mm]\vec{PF}[/mm] - [mm]\vec{P} \gdw \vec{PF}[/mm] = [mm]\vec{P}[/mm] - [mm]\vec{F}[/mm]
Nein. Zeichne dir die Punkte einmal auf. Dann siehst du, dass
[mm] \vec{0}= \vec{P}[/mm] + [mm]\vec{PF}[/mm] - [mm]\vec{F} \gdw \vec{PF}[/mm] = [mm]\vec{F}[/mm] - [mm]\vec{P}[/mm]
Dein Lehrer hat aber ein etwas anderes Verfahren gewählt. Ich erkläre es dir als Antwort auf deine ursprüngliche Frage. Das ist einfacher, als alles hierhin zu kopieren.
Gruß
Sigrid
> ???
> wenn nein, wieso???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo NRWFistigi,
> Hallo!!
> Ich hab schon wieder eine Aufgabe von der Tafel
> abgeschrieben, die kich nicht ganz verstehe.
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]k*\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{u} \not=[/mm] 0
> [mm]\wedge[/mm] k [mm]\in \IR[/mm]
>
> d(p;g) soll berechnet werden
>
> dabei ist d(p;g)= l(P,L) schon diesen Ansatz verstehe ich
> nicht.
L ist der Fußpunkt des Lotes von P auf g. Die Gleichung besagt, dass der Abstand des Punktes P von der Geraden g gleich der Länge der Lotstrecke ist.
>
> Weiterhin ist gegeben P(3,-4,2) [mm]\wedge[/mm] g: [mm]\vec{x}= \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix}1\\- \\2\end{pmatrix} \wedge[/mm]
> k [mm]\in[/mm] R
> Normalenvektor: [mm]\vec{u}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec{u}*( \vec{x}[/mm] - [mm]\vec{p})=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}*(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}[/mm]
> )=0
> [mm]\Rightarrow x_1-3*x_2+2*x_3-19=0[/mm]
Diese Ebene liegt senkrecht zur Geraden g und enthält den Punkt P. Wenn du also den Schnittpunkt von g mit dieser Ebene bestimmst, erhälst du den Fußpunkt des Lotes von P auf g.
>
> Nun kommt mein Lehrer auf die Rechnung:
> 2+k-3*(1-3k)+2*(2*k)+19=0 wie kommt er darauf???
Hier berechnet er den Schnittpunkt. Du kannst die Geradengleichung ja auch so schreiben:
[mm] \vec{x} = \vektor{2+k \\ 1-3k \\ 2k} [/mm]
Kommst du jetzt weiter?
Gruß
Sigrid
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