Abstand der Ebene zum Ursprung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Jaina123 |
| Aufgabe | | Bestimmen sie den Abstand d der Ebene E1 vom Ursprung des Koordinatensystems die Punkte sind A=6,0,0) B=(0,4,0) C=(0,0,3) und der Ursprung D=(0,0,0) |
Ich weiß das ich die Hessesche Normalenform benutzen muss aber irgendwie hab ich jetzt ein Brett vorm Kopf.
meine Koordinaten form lautet E:12x+18y+24z=72
und ich dachte das ich zuerst den Normalvektor bestimmen sollte :
[mm]\vec n[/mm]=[mm]\begin{pmatrix} 12 \\ 18 \\ 24 \end{pmatrix}[/mm]
und danach [mm]\left| \vec n \right| [/mm] =[mm]\wurzel{12^2+18^2+24^2} \wurzel[12^2+18^2+24^2][/mm] = 6[mm] \wurzel{29} \wurzel[29][/mm]
und danach [mm]\bruch{12x1+18x2+24x3-72}{6\wurzel{29} \wurzel[29]}[/mm] =d
aber wie soll ich nun weitermachen? und oder war ich überhaupt auf dem richtigen weg? bin über jede hilfe dankbar!
Lg,Jaina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $12x+18y+24z=72 $
Die linke Seite ist das (euklidische) Skalarprodukt
[mm] $\vektor{12\\ 18\\ 24}\cdot\vektor{x\\ y\\ z}=72$
[/mm]
(einfach Skalarprodukt durchführen)
> $ [mm] \vec [/mm] n = [mm] \begin{pmatrix} 12 \\ 18 \\ 24 \end{pmatrix} [/mm] $
Nennen wir mal zusätzlich
[mm] $\vec [/mm] a = [mm] \vektor{x\\ y\\ z}$
[/mm]
Damit ist die Koordinatenform also:
[mm] $72=12x+18y+24z=\vec [/mm] n [mm] \cdot \vec a=|\vec n|\, |\vec a|\, \cos\sphericalangle(\vec [/mm] n, [mm] \vec [/mm] a) $
[mm] $|\vec a|\, \cos\sphericalangle(\vec [/mm] n, [mm] \vec [/mm] a)$ ist genau die Strecke, die Du suchst (zeichne's Dir ein [mm] $\vec [/mm] n$ und einen Vektor [mm] $\vec [/mm] a$ auf der Ebene, dann fäll das Lot von [mm] $\vec [/mm] a$ auf [mm] $\vec [/mm] n$).
Also ist der Abstand der Ebene vom Ursprung
[mm] $d=|\vec a|\, \cos\sphericalangle(\vec [/mm] n, [mm] \vec a)=\frac{72}{|\vec n|}$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Jaina123 |
also lautet die Antwort 2,22... LE? sry ich hab den Bruch nicht ganz hinbekommen mit den Formeln...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Blech |
richtig gerundet [mm] $\sim [/mm] 2.23$. =)
Merk Dir einfach folgendes:
Hat der Normalenvektor, [mm] $\vec [/mm] n = [mm] (n_1; n_2; n_3)$, [/mm] Länge 1, dann steht bei
[mm] $n_1 [/mm] x+ [mm] n_2 [/mm] y+ [mm] n_3 [/mm] z = d$
der Abstand der Ebene vom Ursprung auf der rechten Seite direkt da.
Hat [mm] $\vec [/mm] n$ nicht Länge 1, dann ist [mm] $\frac{\vec n}{|\vec n|}$ [/mm] auch ein Normalenvektor, und *hat* Länge 1, also kannst Du die Gleichung auf beiden Seiten einfach durch [mm] $|\vec [/mm] n|$ teilen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 29.05.2011 | | Autor: | Jaina123 |
Danke!Ich soll als nächstes die Koordinatengleichung für die übrigen Ebenen angeben die das Tetraeder begrenzen, wie soll ich das nun machen? O.o
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 29.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Danke!Ich soll als nächstes die Koordinatengleichung für
> die übrigen Ebenen angeben die das Tetraeder begrenzen,
> wie soll ich das nun machen? O.o
Einfach hinschreiben.
Die Ebene durch die Punkte A, B und D ist die x-y-Ebene.
Eine Koordinatengleichung für die x-y-Ebene lautet:
z=0
Wenn dir das zu einfach ist, dann schreibe stattdessen
[mm] \red{0}x [/mm] + [mm] \red{0}y [/mm] + [mm] \red{1}z [/mm] = 0 .
Da sieht man auch besser den Zusammenhang zu der Tatsache, dass diese Ebene den Normalenvektor [mm] \red{\vektor{0 \\ 0\\1}} [/mm] besitzt.
Gruß Abakus
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