Abstand Windschiefer Gerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Hallo...mich treibt es das erste mal hier her und es ist jetzt 2:55Uhr Sonntag Morgen und sitze jetzt schon seit 4std. an der Aufgabe. Gegeben sind 2 geraden g: x=(2 1 5) + k*(1 0 3) und h: x=(3 4 2) + r*(-1 4 1) Gesucht sind jetzt die Punkte G auf g und H auf h die den gleichen Abstand GH haben wie der kürzeste Abstand von g und h. |
Habe bereits den Abstand d(g,h) ausgerechnet mit ca. 3,02.
Jetzt weiß ich einfach nich weiter wie ich auf G und H kommen soll. Meine Idee war ein gleichungssystem aufzustellen. Hatte auch 2 GLS. . ax+by+cz=0 dann das System gelöst. Aber die Punkte stimmen nicht mit denen überein die mir n Freund mit nem Programm errechnet hat. Er meinte: H ( 3/6/11 / 1/9/11 / 1/5/11)
G ( 1/1/11 / 1 / 2/3/11) (Dezimahlbrüche)
Bin ich falsch? Wenn ja wo?....Vielen dank bereits.
MFG Erik
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:57 So 04.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Erik, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sind 2 geraden g: x=(2 1
> 5) + k*(1 0 3) und h: x=(3 4 2) + r*(-1 4
> 1) Gesucht sind jetzt die Punkte G auf g und H auf h
> die den gleichen Abstand GH haben wie der kürzeste Abstand
> von g und h.
> Habe bereits den Abstand d(g,h) ausgerechnet mit ca. 3,02.
Dann erklär doch mal bitte kurz, wie du darauf gekommen bist. Evtl. hast du die Punkte (fast) schon, ohne daß es dir bewußt ist.
Wenn du deine Texte mit dem Editor schreibst, sind sie besser lesbar.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
> Jetzt weiß ich einfach nich weiter wie ich auf G und H
> kommen soll. Meine Idee war ein gleichungssystem
> aufzustellen. Hatte auch 2 GLS. . ax+by+cz=0 dann das
> System gelöst. Aber die Punkte stimmen nicht mit denen
> überein die mir n Freund mit nem Programm errechnet hat. Er
> meinte: H ( 3/6/11 / 1/9/11 / 1/5/11)
> G ( 1/1/11 / 1 / 2/3/11)
> (Dezimahlbrüche)
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> Bin ich falsch? Wenn ja wo?....Vielen dank bereits.
> MFG Erik
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 04.11.2007 | | Autor: | mathe-doof |
auf den abstand komm ich folgender maßen:
hessesche Normalform bilden:
-> n=(6 2 -2) Normalenvektor nach auflösen der beiden Gleichungen
der geraden
-> E=(6 2 -2) * [x - (3 0 -1) Ebene zur Bildung der Hesseschen
Normalenform
-> Betrag des Normalenvektors [mm] \wurzel{44}
[/mm]
-> Ebenengleichung für g E= [mm] 1/\wurzel{44} [/mm] * (6 2 -2)
Abstand d(g,h) = [(3 4 2) - (2 1 5)] * [mm] 1/\wurzel{44} [/mm] * (6 2 -2)
[mm] =\bruch{10}{11} [/mm] * [mm] \wurzel{11} [/mm]
=3,02....
hoffe das ich das verständlich darstellen konnte
PS:Sorry für die verspätete reaktion aber musste nach der Matheorgie bis halb vier erstmal ausschlafen =)
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Du hast 2 Geraden in Parameterform.
Die kürzeste Verbindung steht senkrecht auf beiden Geraden.
Senkrecht, das heißt, dass das Skalarprodukt jeweils NULL sein muss.
(1 0 3)*(x y z)=0
(-1 4 1)*(x y z)=0
Das sind 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Geht nicht, denkst du. Dann tacker einfach eine Unbekannte fest (z.B. x=1)
Nun 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten lösen
Dann hast du die Richtung der kürzesten Verbindung.
Nun (2 1 5) + k*(1 0 3) + m*(x y z)=(3 4 2) + r*(-1 4 1)
x, y und z sind bereits bekannt (die hast du oben ausgerechnet).
Also hast du nun 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten k, m und r.
Das löst du auf und dann hast du alles, was du brauchst.
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| Aufgabe | | Gleichungssystem mit 2 variablen aufstellen |
hallo...
habe jetzt deine schritte navollzogen und hab als erstes die beiden Gleichungen gelöst: für x=1 wie du sagtest
-> (1 0 3) * (x y z)=0
1 + 3z=0
[mm] z=-\bruch{1}{3}
[/mm]
-> (-1 4 1) * (x y z)=0
-1 + 4y + 1z=0
-1 + 4y + [mm] 1*(-\bruch{1}{3})=0
[/mm]
[mm] 4y=\bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{3}
[/mm]
also hab ich jetzt x=1 [mm] y=\bruch{1}{3} z=-\bruch{1}{3}
[/mm]
das ist jetzt der Richtungsvektor für die Verbindungsgerade der beiden Punket?
die punkte hab ich jetzt in die von dir genannte gleichung eingesetzt
(2 1 5) + k*(1 0 3) + m*(1 [mm] \bruch{1}{3} -\bruch{1}{3}) [/mm] = (3 4 2) + r*(-1 4 1)
1. 2 + k + m = 4 - r
2. 1 + (0k) + [mm] \bruch{1}{3}m [/mm] = 4 + 4r
3. 5 + 3k + [mm] -\bruch{1}{3}m [/mm] = 2 + r
da hab ich raus für k=-21 r=-101 m=-123
mir kommen diese werte komisch vor??? könnte das bitte jemand überprüufen???
Gruß erik
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Vom Prinzip her hast du das richtig gemacht.
Wenn die Werte "komisch" sind, so liegt das an den gegebenen Zahlen in der Aufgabe.
In der x und der z-Komponente komme ich auch auf deine Ergebnisse. Aber bei y kommt es nicht hin. Vielleiht hast du dich einfach nur verrechnet.
Der Punkt auf der ersten Geraden ist (-19 ?? -58) und auf der zweiten Geraden (104 ?? -99).
Der kürzeste Verbindungsvektor wäre dann (-123 ?? 41)
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> 1. 2 + k + m = 4 - r
Warum nicht: ... 3 - r (falsch abgeschrieben ?)
Da könnte der Fehler liegen
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