Abstand Punkt Gerade < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Di 14.02.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Sei ax+by+c=0 eine Gerade in [mm] E^2 [/mm] und [mm] P=(x_0/y_0) [/mm] ein Punkt in [mm] E^2.
[/mm]
Zeigen Sie, dass der Abstand d von P zur Geraden gegeben ist durch
[mm] d=\bruch{|ax_0+by_0+c|}{\wurzel{a^2+b^2}} [/mm] |
Hallo,
ich brauche wieder mal Hilfe. Die eig. Idee ist mir natürlich schon klar, aber ich kann es irgendwie nicht beweisen.
Was ich mir schon überlegt habe:
P= Punkt
g= Gerade (zu der, der Abstand berechnet werden soll)
h= Hilfsgerade durch P, die Orthogonal zu g ist
Ich muss den Schnittpunkt F von h und g berechnen
1) SP g und h [mm] SP_1(x_0/y_0)
[/mm]
2) Steigung von g=a
3) Steigung von [mm] h=-\bruch{1}{a}
[/mm]
4) Gerade von h [mm] y_0=-\bruch{1}{a}x_0+b
[/mm]
[mm] b=\bruch{1}{a}x_0+y_0
[/mm]
[mm] y=-\bruch{1}{a}x_0+ \bruch{1}{a}x_0+y_0
[/mm]
ist das bis hier ok? Weiter komme ich auch nicht
Gruß Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Di 14.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei ax+by+c=0 eine Gerade in [mm]E^2[/mm] und [mm]P=(x_0/y_0)[/mm] ein Punkt
> in [mm]E^2.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass der Abstand d von P zur Geraden gegeben
> ist durch
>
> [mm]d=\bruch{|ax_0+by_0+c|}{\wurzel{a^2+b^2}}[/mm]
> Hallo,
>
>
> ich brauche wieder mal Hilfe. Die eig. Idee ist mir
> natürlich schon klar, aber ich kann es irgendwie nicht
> beweisen.
>
> Was ich mir schon überlegt habe:
>
>
> P= Punkt
> g= Gerade (zu der, der Abstand berechnet werden soll)
> h= Hilfsgerade durch P, die Orthogonal zu g ist
>
> Ich muss den Schnittpunkt F von h und g berechnen
>
> 1) SP g und h [mm]SP_1(x_0/y_0)[/mm]
> 2) Steigung von g=a
Nein. Das stimmt nicht.
Die Geradengl. lautet:
ax+by+c=0
Unterscheide 2 Fälle:
1. b=0
und
2. b [mm] \ne [/mm] 0.
Im 2. Fall hat g die Steigung -a/b
FRED
> 3) Steigung von [mm]h=-\bruch{1}{a}[/mm]
> 4) Gerade von h [mm]y_0=-\bruch{1}{a}x_0+b[/mm]
> [mm]b=\bruch{1}{a}x_0+y_0[/mm]
>
> [mm]y=-\bruch{1}{a}x_0+ \bruch{1}{a}x_0+y_0[/mm]
>
>
> ist das bis hier ok? Weiter komme ich auch nicht
>
> Gruß Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 14.02.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo Fred,
danke für die Antwort.
> Nein. Das stimmt nicht.
>
> Die Geradengl. lautet:
>
> ax+by+c=0
>
> Unterscheide 2 Fälle:
>
> 1. b=0
>
> und
>
> 2. b [mm]\ne[/mm] 0.
>
> Im 2. Fall hat g die Steigung -a/b
>
[mm] b\not=0 [/mm] y = -a/b x - c/b
Steigung - a/b
b=0 [mm] a\not=0
[/mm]
D.h wir haben eine Paralle zur y Achse. Also keine Steigung.
Also ist die Steigung von h [mm] \bruch{b}{a}
[/mm]
Jetzt würde ich wieder die Gerade von h aufstellen.
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Hallo,
> > Die Geradengl. lautet:
> >
> > ax+by+c=0
> >
> > Unterscheide 2 Fälle:
> >
> > 1. b=0
> >
> > und
> >
> > 2. b [mm]\ne[/mm] 0.
> >
> > Im 2. Fall hat g die Steigung -a/b
> >
>
> [mm]b\not=0[/mm] y = -a/b x - c/b
> Steigung - a/b
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b=0 [mm]a\not=0[/mm]
> D.h wir haben eine Paralle zur y Achse. Also keine
> Steigung.
>
> Also ist die Steigung von h [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
Genau.
> Jetzt würde ich wieder die Gerade von h aufstellen.
--> Ja, diese lautet im Fall [mm] $b\not= [/mm] 0, [mm] a\not= [/mm] 0$ also:
$h(x) = [mm] \frac{b}{a}*x [/mm] + n$
Da $h$ durch [mm] $P(x_0,y_0)$ [/mm] gehen soll ist:
[mm] $y_0 [/mm] = [mm] h(x_0) [/mm] = [mm] \frac{b}{a}*x_0 [/mm] + n [mm] \Rightarrow [/mm] n = [mm] y_0 [/mm] - [mm] \frac{b}{a}*x_0$.
[/mm]
Also
$h(x) = [mm] \frac{b}{a}*x [/mm] + [mm] \left(y_0 - \frac{b}{a}*x_0\right)$.
[/mm]
Du möchtest nun ja den Abstand der Geraden g zum Punkt P, also musst du den Schnittpunkt $S$ von $h$ mit $g$ bestimmen. Der Abstand von
S zu P
ist dann der gesuchte Abstand.
--->Es bleiben dann noch zwei Sonderfälle zu betrachten:
- Im Fall $a = 0$ ist die Normale von der Form $x = [mm] x_0$. [/mm] Wie geht es dann weiter?
- Fall $b = 0$: In diesem Fall hast du [mm] $a\not= [/mm] 0$ und die Geradengleichung von $g$ lautet ax + c = 0, also $x = [mm] -\frac{c}{a}$.
[/mm]
Was ist dann der Abstand von [mm] $P(x_0|y_0)$ [/mm] zu $g$? Stimmt das mit der allgemeinen in der Aufgabe gegebenen Formel überein, wenn du dort $b = 0$ einsetzt?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Di 14.02.2012 | | Autor: | Laura87 |
es is jetzt wahrscheinlich sehr banal, aber bin gerade etwas verwirrt.
> --> Ja, diese lautet im Fall [mm]b\not= 0, a\not= 0[/mm] also:
>
> [mm]h(x) = \frac{b}{a}*x + n[/mm]
>
> Da [mm]h[/mm] durch [mm]P(x_0,y_0)[/mm] gehen soll ist:
>
> [mm]y_0 = h(x_0) = \frac{b}{a}*x_0 + n \Rightarrow n = y_0 - \frac{b}{a}*x_0[/mm].
>
> Also
>
> [mm]h(x) = \frac{b}{a}*x + \left(y_0 - \frac{b}{a}*x_0\right)[/mm].
>
> Du möchtest nun ja den Abstand der Geraden g zum Punkt P,
> also musst du den Schnittpunkt [mm]S[/mm] von [mm]h[/mm] mit [mm]g[/mm] bestimmen. Der
> Abstand von
>
> S zu P
>
> ist dann der gesuchte Abstand.
>
[mm] \frac{b}{a}*x [/mm] + [mm] \left(y_0 - \frac{b}{a}*x_0\right)=ax_0+by_0+c
[/mm]
nach [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] auflösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Di 14.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein du hast doch 2 Geraden :
$ax+by+c=0 damit y=-a/b*x+b/c$
und $y= [mm] \frac{b}{a}\cdot{}x [/mm] + [mm] \left(y_0 - \frac{b}{a}\cdot{}x_0\right) [/mm] $
die musst du schneiden!
der Schnittpunkt sei S=(x1,y1) und dann den Abstand zw S und P
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Di 14.02.2012 | | Autor: | Laura87 |
Ich mache immer noch etwas falsch, denn bei mir kommt etwas ganz komisches raus...
[mm] \frac{b}{a}\cdot{}x [/mm] + [mm] \left(y_0 - \frac{b}{a}\cdot{}x_0\right)= -a/bx+b\c
[/mm]
Hieraus folgt
[mm] y_0-(b/a) x_0 -b/c=\bruch{b^2-a^2}{ba}x
[/mm]
[mm] (y_0-((b/a) x_0-b/c)(\bruch{ba}{b^2-a^2})=x
[/mm]
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Hallo Laura87,
> Ich mache immer noch etwas falsch, denn bei mir kommt etwas
> ganz komisches raus...
>
> [mm]\frac{b}{a}\cdot{}x[/mm] + [mm]\left(y_0 - \frac{b}{a}\cdot{}x_0\right)= -a/bx+b\c[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]\frac{b}{a}\cdot{}x + \left(y_0 - \frac{b}{a}\cdot{}x_0\right)= -\bruch{a}{b}*x\blue{-\bruch{c}{b}}[/mm]
> Hieraus folgt
>
> [mm]y_0-(b/a) x_0 -b/c=\bruch{b^2-a^2}{ba}x[/mm]
>
> [mm](y_0-((b/a) x_0-b/c)(\bruch{ba}{b^2-a^2})=x[/mm]
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Di 14.02.2012 | | Autor: | Laura87 |
da stand bei mir +b/c hab das von leduart abgeschrieben...ich glaub er hat sich auch nur vertippt...kommt davon wenn ich das einfach abschreibe ...danke für den Hinweis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Di 14.02.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo Mathepower,
> >
> > [mm]\frac{b}{a}\cdot{}x[/mm] + [mm]\left(y_0 - \frac{b}{a}\cdot{}x_0\right)= -a/bx+b\c[/mm]
>
> >
>
> Hier muss doch stehen:
>
> [mm]\frac{b}{a}\cdot{}x + \left(y_0 - \frac{b}{a}\cdot{}x_0\right)= -\bruch{a}{b}*x\blue{-\bruch{c}{b}}[/mm]
Das ändert aber doch nicht viel oder?
Hieraus folgt
[mm] y_0-(b/a) x_0 +c/b=\bruch{b^2-a^2}{ba}x
[/mm]
[mm] (y_0-(b/a) x_0+c/b)(\bruch{ba}{b^2-a^2})=x
[/mm]
Gruß Laura
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Hallo Laura87,
> Hallo Mathepower,
>
> > >
> > > [mm]\frac{b}{a}\cdot{}x[/mm] + [mm]\left(y_0 - \frac{b}{a}\cdot{}x_0\right)= -a/bx+b\c[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > Hier muss doch stehen:
> >
> > [mm]\frac{b}{a}\cdot{}x + \left(y_0 - \frac{b}{a}\cdot{}x_0\right)= -\bruch{a}{b}*x\blue{-\bruch{c}{b}}[/mm]
>
>
>
> Das ändert aber doch nicht viel oder?
>
>
>
> Hieraus folgt
> [mm]y_0-(b/a) x_0 +c/b=\bruch{b^2-a^2}{ba}x[/mm]
>
Hier haben einige Fehler eingeschlichen:
[mm]y_0-(b/a) x_0 +c/b=\red{-}\bruch{b^2\blue{+}a^2}{ba}x[/mm]
> [mm](y_0-(b/a) x_0+c/b)(\bruch{ba}{b^2-a^2})=x[/mm]
>
>
> Gruß Laura
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Laura87 |
Guten Morgen,
bevor ich mich dumm und dämlich rechne frage ich lieber noch einmal nach...
Also [mm] x=(y_0-\bruch{b}{a} x_0 [/mm] - [mm] \bruch{c}{b}) (-(\bruch{ba}{a^2+b^2}))
[/mm]
Analog
[mm] y=(-\bruch{a}{b}y_0+x_0+\bruch{c}{a})(-(\bruch{ba}{a^2+b^2}))
[/mm]
Jetzt haben wir den Schnittpunkt und berechnen den Absand zum [mm] Punkt(x_0/y_0)
[/mm]
[mm] \wurzel{((y_0-\bruch{b}{a} x_0 - \bruch{c}{b}) (-(\bruch{ba}{a^2+b^2}))-x_0)^2+((-\bruch{a}{b}y_0+x_0+\bruch{c}{a})(-(\bruch{ba}{a^2+b^2}))-y_0)^2}
[/mm]
hoffe jetzt ist alles richtig :-S
Gruß
LAura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mi 15.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mir scheint deine Rechnung richtig, aber ich sehe grade, dass du an der uni bist. Also kannst du mit Vektoren umgehen.
wenn du den Einheitsnormalenvektor der Geraden kennst, kennst du dann den Abstand zu 0, dann solltest du auch den Abstand zu [mm] (x_0,y_0) [/mm] direkt als Skalarprodukt ausrechnen können.
(Stichwort Hessesche Normalform?)
dividier deine Geradengl erst mal durch [mm] \wurzel{a^2+b^2} [/mm] um sie zu normieren.
gruss leduart
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Einfacher wird es, wenn du gleich mit den Normalenformen arbeitest. Dann brauchst du auch keinerlei Fallunterscheidungen. In
(1) [mm]g: \ \ ax + by + c = 0[/mm]
darf man [mm]a^2 + b^2 > 0[/mm] voraussetzen. Sonst wäre das nämlich überhaupt keine Gerade. Eine Normale [mm]h[/mm] von [mm]g[/mm] hat nun die Form
(2) [mm]h: \ \ -bx + ay + d = 0[/mm]
Die Punktprobe mit [mm]P = (x_0,y_0)[/mm] zeigt, daß
[mm]d = b x_0 - a y_0[/mm]
gelten muß. Zunächst läßt man am besten [mm]d[/mm] stehen. Addition des [mm]b[/mm]-fachen von (1) zum [mm]a[/mm]-fachen von (2) liefert dir den [mm]y[/mm]-Wert des Schnittpunktes [mm]F[/mm] von [mm]g[/mm] und [mm]h[/mm]. Und wenn man das [mm]a[/mm]-fache von (1) zum [mm](-b)[/mm]-fachen von (2) addiert, bekommt man den [mm]x[/mm]-Wert:
[mm]F = \left( \frac{bd - ac}{a^2 + b^2} \, , \, \frac{-ad - bc}{a^2 + b^2} \right)[/mm]
Für den Abstand [mm]r[/mm] von [mm]F[/mm] und [mm]P[/mm] und somit den Abstand von [mm]P[/mm] und [mm]g[/mm] gilt nach Pythagoras:
[mm]r^2 = \left( x_0 + \frac{ac - bd}{a^2 + b^2} \right)^2 + \left( y_0 + \frac{ad + bc}{a^2 + b^2} \right)^2[/mm]
Jetzt schreibe jede Klammer als Bruch über dem Nenner [mm]a^2 + b^2[/mm] und verwende den Wert von [mm]d[/mm] von oben. Im Zähler heben sich Glieder weg und aus den restlichen kann man [mm]a[/mm] bzw. [mm]b[/mm] ausklammern. Noch ein bißchen umformen und weiter geschickt ausklammern - und du bist am Ziel.
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