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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Do 12.05.2011 | | Autor: | Rated-R |
Hallo,
ich hoffe mal das ihr mir weiterhelfen könnt.
Und zwar kann man mittels der Hesseform den Abstand zwei paralleler Ebenen berechnen, die den gleichen Normalenvektor besitzen.
[mm] d=\vmat{ \bruch{n_0-n'_0}{\vmat{\overrightarrow{n}}}}
[/mm]
Meine frag ist wie kann man das herleiten?
Vielen Dank für eure Hilfe!
gruß
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> Hallo,
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> ich hoffe mal das ihr mir weiterhelfen könnt.
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> Und zwar kann man mittels der Hesseform den Abstand zwei
> paralleler Ebenen berechnen, die den gleichen
> Normalenvektor besitzen.
> [mm]d=\vmat{ \bruch{n_0-n'_0}{\vmat{\overrightarrow{n}}}}[/mm]
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> Meine frag ist wie kann man das herleiten?
Hallo,
wenn Du hier eine Formel präsentierst, müßtest Du auch mal sagen, was Du mit den Buchstaben meinst.
Solange Du nämlich Dir nicht klargemacht hast, was die Buchstaben bedeuten, kannst Du die Formel auch nicht herleiten.
Wofür stehen bei Dir [mm] n_0 [/mm] und [mm] n_0'? \vec{n} [/mm] ist sicher ein Normalenvektor der Ebenen.
Du hast ein Schulbuch? Normalerweise ist die Herleitung dort auch erklärt mit bunten Skizzen.
Ich fänd's gut, wenn Du das, was dort steht, mal durcharbeiten und hier mit Deinen Fragen präsentieren würdest.
Ansonsten:
Den Abstand zweier paralleler Ebenen [mm] E_1, E_2 [/mm] bekommst Du leicht, wenn Du Dir überlegst, daß die Ebene [mm] E_2 [/mm] so weit von [mm] E_1 [/mm] entfernt ist, wie irgendein beliebiger Punkt von [mm] E_2.
[/mm]
Was weißt Du über den Abstand von Ebene und Punkt?
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
> gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Rated-R |
Hallo,
nein leider steht diese Formel nicht in meiner Formelsammlung und keinem schulbuch. Ich weißt natürlich das der Abstand Punkt Ebene mittels Hesseform oder Lotgerade sich berechnen lässt, nur geht es mit der formel schneller und andere Aufgaben z.b. projektion wären auch leichter.
d = Abstand der ebenen
n0= Hesseform: n1x1 + n2x2 + n3x3 + n0 = 0 das letzte glied der Ebene.
n'0= das letzte glied der anderen ebene
[mm] \vmat{n}= [/mm] länge des normalenvektors
und bei ![[]](/images/popup.gif) wikipedia steht keine Herleitung.
gruß
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> d = Abstand der ebenen
> n0= Hesseform: n1x1 + n2x2 + n3x3 + n0 = 0 das letzte
> glied der Ebene.
der Ebenengleichung von E
> n'0= das letzte glied der anderen ebene
der Ebene E' mit der Gleichung [mm] n_1x_1 [/mm] + [mm] n_2x_2 [/mm] + [mm] n_3x_3 [/mm] + [mm] n_0 [/mm] = 0
> [mm]\vmat{n}=[/mm] länge des normalenvektors
Hallo,
Dir ist, wenn Du die HNF kennst, klar, daß [mm] d_1:=\bruch{n_0}{|n|} [/mm] der Abstand der Ebene E vom Ursprung ist.
Der Abstand von [mm] E_2 [/mm] zum Ursprung ist entsprechend [mm] d_2:=\bruch{n_0'}{|n|}.
[/mm]
Mach Dir jetzt klar, daß der Abstand der beiden Ebenen die Differenz ihrer Abstände zum Ursprung ist.
Beispiele:
1.
E:
[mm] x_1+2x_2+2x_3+6=0
[/mm]
Abstand vom Ursprung [mm] d_1=2
[/mm]
E':
[mm] x_1+2x_2+2x_3+15=0
[/mm]
Abstand vom Ursprung [mm] d_2=5
[/mm]
Abstand der beiden Ebenen d=5-3
2.
E:
[mm] x_1+2x_2+2x_3+6=0
[/mm]
Abstand vom Ursprung [mm] d_1=2
[/mm]
E':
[mm] x_1+2x_2+2x_3-15=0
[/mm]
Abstand vom Ursprung [mm] d_2=-5
[/mm]
Der Ursprung liegt zwischen den Ebenen
Abstand der beiden Ebenen d=3-(-5)=8
Ich habe die Hoffnung, daß Dir die Angelegenheit nun klar wird.
Du kannst es Dir anhand einer Skizze mit parallelen Geraden für den zweidimensionalen Fall gut verdeutlichen.
Gruß v. Angela
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