Abstand Ebene + parallele Gera < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 20.02.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Ihr,
ich versuche gerade mal wieder etwas Mathe zu üben.
Nun sitze ich vor einer Aufgabe und weiß nicht so recht weiter.
Aufg: Zeige, dass die Gerade g parallel ist zur Ebene E, bestimme den Abstand von g zu E.
Die Abstandsrechnung wird höchstwahrscheinlich weniger ein Problem werden, aber wie zeige ich, dass die Gerade g parallel ist zur Ebene E? Ich weiß, dass die Normalenvektoren in 90 Grad von der Ebene wegzeigt, und einer von denen müsste dann doch auf die Gerade g treffen? Oder ich muss den Normalenvektor von g bilden (falls es das überhaupt gibt?)...
Ansonsten kenne ich noch die Hessische Normalenform, aber die ist ja auch nur für einen Punkt und eine Ebene zuständig...
Kann jemand mir weiterhelfen? :)
Ein Beispiel wäre:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3\\ -1 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{2\\ 1 \\ 3}
[/mm]
E: x1 + x2 - x3 = 5
Liebe Grüße
Bärchen
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Hi, baerchen,
wenn Du Dir die Situation mal skizzierst (Ebene mit Normalenvektor senkrecht darauf, Gerade, parallel zur Ebene), dann kommst Du selbst drauf:
Der Normalenvektor muss senkrecht auch zur Gerade sein; speziell ist ein rechter Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor der Geraden. Das bedeutet: Beider Skalarprodukt muss =0 ergeben:
[mm] \vektor{1\\1\\-1} \circ \vektor{2\\1\\3} [/mm] = 0
Frage zum Abstandsproblem selbst:
Habt Ihr die HNF schon oder arbeitet Ihr mit Lotgeraden?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 So 20.02.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Zwerglein,
erstmal danke für deine schnelle Hilfe. Sie sind also parallel, da 2+1-3 = 0 ist.
Ich habe hier im Buch die HNF stehen, aber ich verstehe nicht, wieso immer eine Ungleichung dabei herauskommt, in diesem Fall habe ich Betrag von 2,89 = 0. Die 2,89 LE sind dann doch der Abstand, oder?
Denn hier steht die HNF als ax1 + bx2 + cx3 - d / [mm] \wurzel [/mm] {a² + b² + c²} = 0
Liebe Grüße
Bärchen
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Hi, baerchen.
die Formel aus dem Buch ist OK! Und nimm' das -d wörtlich: In der HNF hat die "Konstante ohne x" ein Minusvorzeichen!
Deine HNF ist also: [mm] \bruch{x_{1}+x_{2}-x_{3}-5}{\wurzel{3}} [/mm] = 0
So: Da nun alle Punkte der Geraden gleichen Abstand von der Ebene haben, setzt Du einfach den Aufpunkt von g ein, also: P(3; -1; 2)
Dann kriegst Du zunächst: [mm] \bruch{3-1-2-5}{\wurzel{3}} [/mm] = [mm] \bruch{-5}{\wurzel{3}} [/mm] (aber bitte nicht =0 !!!)
Der Betrag davon (also wie Du richtig geschrieben hast: etwa 2,89) ist der gesuchte Abstand.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 So 20.02.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Zwerglein,
nun habe ich das verstanden.
Wäre ja auch wirklich eigenartig wenn null auf einmal gleich etwas anderem als 0 sein sollte.
Ich wünsche dir noch einen schönen Sonntag!
Liebe Grüße
Bärchen
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