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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 So 10.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo zusammen^^
Ich hab mal ne kurze Frage. In einem Beweis steht: [mm] "\forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN: d(f_{n}(x),f(x)) [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N. [mm] \Rightarrow d(f_{n},f) \varepsilon..."
[/mm]
Ist nun [mm] f_{n}(x) [/mm] und [mm] f_{n} [/mm] im Prinzip das gleiche? Oder ist es so dass z.B. [mm] d(f_{1},f) [/mm] allgemein den Abstand zwischen der Funktion [mm] f_{1} [/mm] zu f beschreibt? Aber so wirklich vorstellen kann ich mir diesen allgemeinen Abstand nicht, was soll das denn sein?. Und [mm] d(f_{1}(x),f(x)) [/mm] ist ja einfach der Abstand von zwei konkreten Punkten.
Vielen Dank
lg
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Hiho,
> Ich hab mal ne kurze Frage. In einem Beweis steht: [mm]"\forall \varepsilon[/mm]
> >0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN: d(f_{n}(x),f(x))[/mm] < [mm]\varepsilon \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N. [mm]\Rightarrow d(f_{n},f) \varepsilon..."[/mm]
Ich vermute mal, hinten soll [mm] $d(f_{n},f) [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] stehen?
> Ist nun [mm]f_{n}(x)[/mm] und [mm]f_{n}[/mm] im Prinzip das gleiche?
Nein
> Oder ist es so dass z.B. [mm]d(f_{1},f)[/mm] allgemein den Abstand zwischen der Funktion [mm]f_{1}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zu f beschreibt?
Genau.
> Aber so wirklich vorstellen kann ich mir diesen allgemeinen Abstand nicht,
> was soll das denn sein?.
Naja, das ist so, wie man es sich definiert hat.
Sinnvoll wäre bspw. folgende Definition:
$d(f,g) := \inf_{x\in \IR} d\left(f(x),g(x)\right)$
Wobei das natürlich keine Metrik beschreibt! (Warum nicht?)
Anschaulich würde man sich hier den Abstand zwischen zwei Funktionen als minimalen Abstand zwischen den Graphen vorstellen.
Analog könnte man natürlich auch definieren:
$d(f,g) := \sup_{x\in \IR} d\left(f(x),g(x)\right)$
Was ist hier der Vorteil in Bezug auf die Definition mit dem $\inf$?
Und schönerweise gilt eben auch, wenn $d\left(*,*) $ die euklidische Metrik ist, gerade
$d(f,g) := \sup_{x\in \IR} d\left(f(x),g(x)\right) = ||f-g||_\infty$
> Und [mm]d(f_{1}(x),f(x))[/mm] ist ja
> einfach der Abstand von zwei konkreten Punkten.
Ja.
> Vielen Dank
Nix zu Danken.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 So 10.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Gono,
>
> > Ich hab mal ne kurze Frage. In einem Beweis steht: [mm]"\forall \varepsilon[/mm]
> > >0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN: d(f_{n}(x),f(x))[/mm] < [mm]\varepsilon \forall[/mm]
> > n [mm]\ge[/mm] N. [mm]\Rightarrow d(f_{n},f) \varepsilon..."[/mm]
>
> Ich vermute mal, hinten soll [mm]d(f_{n},f) < \varepsilon[/mm]
> stehen?
Das soll es.
> > Ist nun [mm]f_{n}(x)[/mm] und [mm]f_{n}[/mm] im Prinzip das gleiche?
>
> Nein
> > Oder ist es so dass z.B. [mm]d(f_{1},f)[/mm] allgemein den
> Abstand zwischen der Funktion [mm]f_{1}[/mm] zu f beschreibt?
>
> Genau.
>
>
> > Aber so wirklich vorstellen kann ich mir diesen allgemeinen
> Abstand nicht,
> > was soll das denn sein?.
>
> Naja, das ist so, wie man es sich definiert hat.
Gut zu wissen, das bringt Licht ins Dunkle.
> Sinnvoll wäre bspw. folgende Definition:
>
> [mm]d(f,g) := \inf_{x\in \IR} d\left(f(x),g(x)\right)[/mm]
>
> Wobei das natürlich keine Metrik beschreibt! (Warum
> nicht?)
Naja, der Abstand ist schonmal immer [mm] \ge [/mm] 0. Und er ist genau dann Null, falls f(x)=g(x). Und d(f(x),g(x))=d(g(x),f(x)) gilt auch. Also bleibt die Dreiecksungleichung, die muss nicht immer erfüllt sein. Das ist auch anschaulich schon klar, dass die nicht immer erfüllt wird, wenn man sich einfach Funktionsgraphen vorstellt.
> Anschaulich würde man sich hier den Abstand zwischen zwei
> Funktionen als minimalen Abstand zwischen den Graphen
> vorstellen.
>
> Analog könnte man natürlich auch definieren:
>
> [mm]d(f,g) := \sup_{x\in \IR} d\left(f(x),g(x)\right)[/mm]
>
> Was ist hier der Vorteil in Bezug auf die Definition mit
> dem [mm]\inf[/mm]?
Diesmal ist eine Metrik definiert, weil auch die Dreiecksungleichung erfüllt wird oder?
>
> Und schönerweise gilt eben auch, wenn [mm]d\left(*,*)[/mm] die
> euklidische Metrik ist, gerade
>
> [mm]d(f,g) := \sup_{x\in \IR} d\left(f(x),g(x)\right) = ||f-g||_\infty[/mm]
>
> > Und [mm]d(f_{1}(x),f(x))[/mm] ist ja
> > einfach der Abstand von zwei konkreten Punkten.
>
Das hast du echt gut erklärt, Danke nochmal =)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Mo 11.07.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
machs doch nächstemal einfach als Frage, dann sieht man es schneller 
> > [mm]d(f,g) := \inf_{x\in \IR} d\left(f(x),g(x)\right)[/mm]
> >
> > Wobei das natürlich keine Metrik beschreibt! (Warum
> > nicht?)
>
> Naja, der Abstand ist schonmal immer [mm]\ge[/mm] 0. Und er ist genau dann Null, falls f(x)=g(x).
Das gilt eben gerade auch nicht. Der Abstand wäre schon dann Null, wenn sich die Funktionsgraphen einmal berühren oder schneiden. (Beachte: Es ist das Infimum über alle Abstände, d.h. einmal Null => immer Null)
> Dreiecksungleichung, die muss nicht immer erfüllt sein.
Stimmt.
> > [mm]d(f,g) := \sup_{x\in \IR} d\left(f(x),g(x)\right)[/mm]
> >
> > Was ist hier der Vorteil in Bezug auf die Definition mit
> > dem [mm]\inf[/mm]?
>
> Diesmal ist eine Metrik definiert, weil auch die
> Dreiecksungleichung erfüllt wird oder?
Nicht nur das, auch $d(f,g) = 0 [mm] \gdw [/mm] f=g$ gilt hier im Gegensatz zu vorher. Mach dir das nochmal klar!
MFG,
Gono.
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