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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mi 28.07.2010 | | Autor: | Kimmel |
| Aufgabe | Gegeben sind eine Pyramide ABCDS mit den Punkten [mm]A(0|0|0), B(8|0|0), C(8|8|0), D(0|8|0)[/mm] und [mm]S(4|4|8)[/mm] sowie für jedes [mm] r \in \IR [/mm] eine Ebene [mm]E_r: rx_1 + 3x_3 = 8r[/mm]
b) Bestimmen sie [mm]r'[/mm] so, dass die Pyramidenspitze S von der Ebene [mm] E_r_' [/mm] den Abstand 4 hat.
Geben Sie die Koordinaten desjenigen Punkten in dieser Ebene [mm] E_r_' [/mm] an, der von [mm]S[/mm] den Abstand 4 hat. |
[mm] d(S;E_r) = \left| \bruch{4r + 24 - 8r}{\wurzel{96}} \right| = 4[/mm]
[mm] \left| \bruch{-r+6}{\wurzel{6}} \right| = 4 [/mm]
1.Fall
[mm] \bruch{-r+6}{\wurzel{6}} = 4 [/mm]
[mm] r_1 = -4*\wurzel{6} + 6 [/mm]
2.Fall
[mm] \bruch{-r+6}{\wurzel{6}} = - 4 [/mm]
[mm] r_2 = 4*\wurzel{6} + 6 [/mm]
Hab ich das bis hierhin richtig gemacht?
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Hallo Kimmel,
> Gegeben sind eine Pyramide ABCDS mit den Punkten [mm]A(0|0|0), B(8|0|0), C(8|8|0), D(0|8|0)[/mm]
> und [mm]S(4|4|8)[/mm] sowie für jedes [mm]r \in \IR[/mm] eine Ebene [mm]E_r: rx_1 + 3x_3 = 8r[/mm]
>
> b) Bestimmen sie [mm]r'[/mm] so, dass die Pyramidenspitze S von der
> Ebene [mm]E_r_'[/mm] den Abstand 4 hat.
> Geben Sie die Koordinaten desjenigen Punkten in dieser
> Ebene [mm]E_r_'[/mm] an, der von [mm]S[/mm] den Abstand 4 hat.
> [mm]d(S;E_r) = \left| \bruch{4r + 24 - 8r}{\wurzel{96}} \right| = 4[/mm]
Der Normalenvektor der Ebene [mm]E_{r}[/mm], ist doch auch von r abhängig,
daher muß die Formel für den Abstand lauten:
[mm]d(S;E_r) = \left| \bruch{4r + 24 - 8r}{\wurzel{\red{r^{2}+9}}} \right| = 4[/mm]
>
> [mm]\left| \bruch{-r+6}{\wurzel{6}} \right| = 4[/mm]
>
> 1.Fall
>
> [mm]\bruch{-r+6}{\wurzel{6}} = 4[/mm]
>
> [mm]r_1 = -4*\wurzel{6} + 6[/mm]
>
> 2.Fall
>
> [mm]\bruch{-r+6}{\wurzel{6}} = - 4[/mm]
>
> [mm]r_2 = 4*\wurzel{6} + 6[/mm]
>
> Hab ich das bis hierhin richtig gemacht?
Leider nein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Kimmel |
Ich verstehe. Da lag also mein Fehler.
Ich hab dann mal weitergemacht:
[mm]d(S;E_r) = \left| \bruch{4r + 24 - 8r}{\wurzel{r^2+9}} \right| = 4 [/mm]
1.Fall:
[mm]d(S;E_r) = \bruch{4r + 24 - 8r}{\wurzel{r^2+9}} = 4 [/mm]
[mm] r = 2,25 [/mm]
2.Fall
[mm]d(S;E_r) = \bruch{4r + 24 - 8r}{\wurzel{r^2+9}} = - 4 [/mm]
Hier habe ich für [mm]r[/mm] auch [mm]2,25[/mm] raus, aber ich habe diesen Wert dann in die Ausgangsgleichung eingesetzt und es kam dann [mm]4[/mm] statt [mm]- 4[/mm] raus. Heißt es dann, dass es keine Lösung dafür gibt?
Bestimmung des Punktes, der den Abstand 4 von S hat
[mm]E_{2,25}: 2,25x_1 + 3x_3 = 18[/mm]
[mm]\vec n_e = \vektor{2,25 \\ 0 \\ 3}[/mm]
[mm]g_{SE}: \vec x = \vektor{4 \\ 8 \\ 8} + t * \vektor{2,25 \\ 0 \\ 3} [/mm] [mm] t \in \IR [/mm]
[mm]g_{SE} \cap E_{2,25}[/mm]
[mm]E_{2,25}: 2,25 * (4 + 2,25t) + 3 * (8 + 3t) = 18[/mm]
[mm]10 + 5,0625t + 24 + 9t = 18[/mm]
[mm]14,0625t = 16[/mm]
[mm]t = -\bruch{256}{225}[/mm]
Ja, das hat mich stutzig gemacht. Kann ein so komisches Ergebnis rauskommen?
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Hallo Kimmel,
> Ich verstehe. Da lag also mein Fehler.
>
> Ich hab dann mal weitergemacht:
>
> [mm]d(S;E_r) = \left| \bruch{4r + 24 - 8r}{\wurzel{r^2+9}} \right| = 4[/mm]
>
> 1.Fall:
>
> [mm]d(S;E_r) = \bruch{4r + 24 - 8r}{\wurzel{r^2+9}} = 4[/mm]
>
> [mm]r = 2,25[/mm]
>
> 2.Fall
>
> [mm]d(S;E_r) = \bruch{4r + 24 - 8r}{\wurzel{r^2+9}} = - 4[/mm]
>
> Hier habe ich für [mm]r[/mm] auch [mm]2,25[/mm] raus, aber ich habe diesen
> Wert dann in die Ausgangsgleichung eingesetzt und es kam
> dann [mm]4[/mm] statt [mm]- 4[/mm] raus. Heißt es dann, dass es keine
> Lösung dafür gibt?
Für diesen 2. Fall gibt es in der Tat keine Lösung.
Hier muß 24-4r < 0 sein, was r > 6 impliziert.
>
> Bestimmung des Punktes, der den Abstand 4 von S hat
> [mm]E_{2,25}: 2,25x_1 + 3x_3 = 18[/mm]
>
> [mm]\vec n_e = \vektor{2,25 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]g_{SE}: \vec x = \vektor{4 \\ 8 \\ 8} + t * \vektor{2,25 \\ 0 \\ 3}[/mm]
> [mm]t \in \IR[/mm]
>
> [mm]g_{SE} \cap E_{2,25}[/mm]
>
> [mm]E_{2,25}: 2,25 * (4 + 2,25t) + 3 * (8 + 3t) = 18[/mm]
> [mm]10 + 5,0625t + 24 + 9t = 18[/mm]
Die Gleichung muß doch so lauten:
[mm]\red{9} + 5,0625t + 24 + 9t = 18[/mm]
>
> [mm]14,0625t = 16[/mm]
> [mm]t = -\bruch{256}{225}[/mm]
>
> Ja, das hat mich stutzig gemacht. Kann ein so komisches
> Ergebnis rauskommen?
>
Nun, das ist zunächst mal der t-Wert mit dem Du diesen Punkt erreichst.
Setze diesen t-Wert (den richtigen) in die Geradengleichung ein,
und Du erhältst den gesuchten Punkt.
Gruss
MathePower
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