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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 So 29.05.2011 | | Autor: | G-Rapper |
| Aufgabe | Gegeben: Tetraeder ABCD mit A(3(/1/2) B(5/3/4) C(-2/2/-1) und D(1/-3/1)
a) Bestimme den Abstand eines jeden Punktes von der Ebene, die durch die übrigen Punkte bestimmt wird
b) Bestimme den Flächeninhalt für jedes der Dreiecke des Tetraeders
c) Berechne das Volumen des Tetraeders aus Teilaufgabe a) und b) |
Hallo Leute,
ich habe versucht die Aufgabe selbstständig zu lösen, doch ich bezweifle, dass meine Ergebnisse richtig sind. Vielleicht könnt ihr ja sagen wo ich mich verrechnet habe.
LG
G-Rapper
a) [mm] E_{ABC}: \vektor{3 \\ 1 \\ 2} [/mm] + r [mm] \* \vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] + t [mm] \* \vektor{5 \\ 0 \\ -3} [/mm] mit s,t [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \vec{n}= \vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] x [mm] \vektor{-5 \\ 0 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ -4 \\ 10} [/mm] (x=Vektorprodukt)
d= [mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{OX}= \vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2} [/mm] = 12 (Skalarmultiplikation)
[mm] E_{ABC}= -6x_{1} [/mm] - [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] 10x_{3} [/mm] = 12
Abst (D, [mm] E_{ABC}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\vec{n}} [/mm] * [mm] |\vec{n} [/mm] *(skalar) [mm] \vec{OD} [/mm] -d | Formel für Abstandsberechnung
Abst (D, [mm] E_{ABC}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{152}} [/mm] * |16-12| = [mm] \bruch{\wurzel {38}}{19}
[/mm]
Es dauert sehr lange alles abzutippen mit der entsprechenden formatierung. Meine weiteren Ergebnisse:
[mm] E_{ABD}= 6x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] - [mm] 4x_{3} [/mm] = 12
Abst (C, [mm] E_{ABD}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{56}} [/mm] * |-14-12| = [mm] \bruch{13\wurzel {14}}{14}
[/mm]
[mm] E_{BCD}= -24x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 34x_{3} [/mm] = 13
Abst (A, [mm] E_{BCD}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1733}} [/mm] * |-5-13| [mm] \approx0,432
[/mm]
b) Formel: [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{|\overrightarrow{AB}|² |\overrightarrow{AC}|²} [/mm] - ( [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] *(skalar) [mm] \overrightarrow{AC})²
[/mm]
[mm] A_{ABC}= \bruch{1}{2} \wurzel{12*34-(16)²}=\wurzel{38}
[/mm]
[mm] A_{ABD}= \bruch{1}{2} \wurzel{12*21-(14)²}=\wurzel{14}
[/mm]
[mm] A_{BCD}= \bruch{1}{2} \wurzel{78*61-(55)²}=\bruch{1}{2} \wurzel{1733} \approx [/mm] 20,8
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 So 29.05.2011 | | Autor: | hawe |
Zum Beispiel stimmt schon das Vektorprodukt vermutlich net:
[mm] $$\vec [/mm] n = [mm] \begin{pmatrix}-8\cr -4\cr 12\end{pmatrix}$$
[/mm]
Abstände mittels der Hesseschen Normalform:
[mm] $$Eabc:\frac{1-2\,x-y+3\,z}{\sqrt{14}}=0 [/mm]
d = [mm] \frac{5}{\sqrt{14}}$$
[/mm]
[mm] $$Ebcd:\frac{-14-27\,x-y+38\,z}{\sqrt{2174}}=0
[/mm]
d = [mm] -\frac{20}{\sqrt{2174}}$$
[/mm]
Bei der vielen Rechnerei wäre ein CAS sehr hilfreich
![[]](/images/popup.gif) http://www.lemitec.de/maxima.html
z.B.:
A:[3,1,2]$ B:[5,3,4]$ C:[-2,2,-1]$ D:[1,-3,1]$
Eabc:hesseNF(((B-A)><(C-A)).([x,y,z]-A)), ratsimp;
F(Eabc,D);
Damit wären auch die LaTex-Formeln kein Problem mehr:
BTW: Überprüfe doch mal die Angaben. Das Tetraeder (wie auch Ebcd) schaut sehr gewöhnungsbedürftig aus...
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