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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Di 24.12.2013 | | Autor: | memory |
| Aufgabe | | Es gilt für alle a [mm] \in [/mm] K. 0 [mm] \cdot [/mm] a=0 d.h. 0 ist absorbierendes Element bzgl. [mm] \cdot [/mm] |
Hey Leute,
ich habe eine kleine Frage zu einem Beweis aus der Vorlesung. Ich kann den Beweis nicht ganz nachvollziehen.
Der Beweis zu dem obigen Lemma lautet:
[mm] 0=(a\cdot 0)-(a\cdot 0)=(a\cdot(0+0))-(a\cdot 0)=((a\cdot0)+(a\cdot0))-(a\cdot0)=(a\cdot 0)+((a\cdot 0)-(a\cdot0))
[/mm]
Es ist für mich nicht ersichtlich warum nun daraus folgt [mm] 0=0\cdot [/mm] a.
Die vorgehensweise ist mir auch nicht ganz klar. Wieso wir [mm] 0=(a\cdot 0)-(a\cdot [/mm] 0) so anfangen.
Vielleicht kann mir jemand die Begründung nennen und den Beweis mir erklären. Ich bemühe mich im Moment alle Beweise aus der Vorlesung zu verstehen auch die kleinen und scheinbar unwichtigen^^
Frohes Fest :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und Willkommen,
> Es gilt für alle a [mm]\in[/mm] K. 0 [mm]\cdot[/mm] a=0 d.h. 0 ist
> absorbierendes Element bzgl. [mm]\cdot[/mm]
> Hey Leute,
>
> ich habe eine kleine Frage zu einem Beweis aus der
> Vorlesung. Ich kann den Beweis nicht ganz nachvollziehen.
>
> Der Beweis zu dem obigen Lemma lautet:
> [mm]0=(a\cdot 0)-(a\cdot 0)=(a\cdot(0+0))-(a\cdot 0)=((a\cdot0)+(a\cdot0))-(a\cdot0)=(a\cdot 0)+((a\cdot 0)-(a\cdot0))[/mm]
Hier bist du doch quasi fertig, denn du weißt, dass [mm] ((a\cdot 0)-(a\cdot0))=0 [/mm] ist (siehe erstes Gleichheitszeichen). Und somit folgt für die gesamte Gleichheitskette:
$0=a*0$
>
> Es ist für mich nicht ersichtlich warum nun daraus folgt
> [mm]0=0\cdot[/mm] a.
> Die vorgehensweise ist mir auch nicht ganz klar. Wieso wir
> [mm]0=(a\cdot 0)-(a\cdot[/mm] 0) so anfangen.
Du möchtest ja zeigen, dass irgendein Ausdruck 0 ist. Also startet man mit der Null und "formt" so lange um, bis man den gewünschten Ausdruck erhält. Dabei darf man sich eben nur auf die erlaubten Operationen beziehen. Das sind eben zumeist die typischen Gesetze: Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Existenz neutrales Element,...
Je nachdem in welchem mathematischen "Objekt" du dich befindest.
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> Vielleicht kann mir jemand die Begründung nennen und den
> Beweis mir erklären. Ich bemühe mich im Moment alle
> Beweise aus der Vorlesung zu verstehen auch die kleinen und
> scheinbar unwichtigen^^
Gutes Vorhaben 
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> Frohes Fest :)
Das wünsch ich dir auch!
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:07 Mi 25.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo memory,
Richie hat ja schon gesagt, wieso
> Es gilt für alle a [mm]\in[/mm] K. 0 [mm]\cdot[/mm] a=0 d.h. 0 ist
> absorbierendes Element bzgl. [mm]\cdot[/mm]
> Hey Leute,
>
> ich habe eine kleine Frage zu einem Beweis aus der
> Vorlesung. Ich kann den Beweis nicht ganz nachvollziehen.
>
> Der Beweis zu dem obigen Lemma lautet:
> [mm]0=(a\cdot 0)-(a\cdot 0)=(a\cdot(0+0))-(a\cdot 0)=((a\cdot0)+(a\cdot0))-(a\cdot0)=(a\cdot 0)+((a\cdot 0)-(a\cdot0))[/mm]
daraus $a [mm] \cdot [/mm] 0=0$ folgt - Kurzfassung:
$0=...=(a *0) [mm] +\{(a*0)-(a*0)\}=a*0+0=a*0\,.$
[/mm]
Beachte dabei:
$-(a*0)$ ist das zu [mm] $a*0\,$ [/mm] additiv inverse Element.
Hier noch eine kurze Begründung, wie man (anders) zu der obigen Gleichung
kommen kann:
Es gilt
[mm] ($\*$) [/mm] $a*0=a*(0+0)=a*0+a*0$ (was Du auch als [mm] $(a*0)+(a*0)\,$ [/mm] schreiben kannst).
Addiert man zu [mm] ($\*$) [/mm] auf beiden Seiten $-(a*0)$ von rechts, so folgt
[mm] $\underbrace{a*0+\{-(a*0)\}}_{=0}=(a*0+a*0)+\{-(a*0)\}\,.$
[/mm]
Und da man [mm] ($\*$) [/mm] für die folgende Rechnung nicht wirklich braucht, muss man
diese "Ursprungsgleichung" auch nicht wirklich erwähnen (zumal viele durchaus
auch ohne [mm] ($\*$) [/mm] tatsächlich den Rechenweg so durchlaufen - ich will das
nämlich niemanden unterstellen, dass diese "Hilfs-Ausgangsgleichung" wirklich
von ihm/ihr gebraucht wurde...)
P.S. Die geschweiften Klammern sind natürlich nicht als Mengenklammern
zu verstehen - man kann sie auch durch runde ersetzen. Nur der Deutlichkeit
wegen habe ich da andere genommen...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:10 Mi 25.12.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S. Minimale Ergänzung:
Gezeigt wurde eigentlich [mm] $a*0=0\,.$ [/mm] Aber daraus folgt natürlich auch [mm] $0*a=0\,$
[/mm]
wegen der Kommutativität von [mm] $*\,.$ [/mm] (Das Ganze immer für alle $a [mm] \in [/mm] K.$)
Gruß,
Marcel
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