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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Erstie |
| Aufgabe | a) Beweisen Sie, dass für alle reellen Zahlen x,y gilt:
||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x-y|
b) Beweisen Sie, dass die Aussage auch für alle komplexen Zahlen gilt. |
Hallo,
ich habe den ersten Aufgabenteil schon bewiesen.
Der Beweis gilt aber auch schon für alle komplexen Zahlen.
Was müsste ich denn in Aufgabenteil b zeigen, wenn der selbe Beweis sowohl für reelle und komplexe Zahlen gilt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Gruß
Erstie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Sa 27.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
nehme mal für x=2 und y=-1 und rechne ||x|-|y|| und |x-y| aus. Was hast Du dann für ein Ergebnis?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Erstie |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Sa 27.11.2010 | | Autor: | abakus |
> a) Beweisen Sie, dass für alle reellen Zahlen x,y gilt:
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> ||x|-|y|| = |x-y|
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> b) Beweisen Sie, dass die Aussage auch für alle komplexen
> Zahlen gilt.
> Hallo,
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> ich habe den ersten Aufgabenteil schon bewiesen.
> Der Beweis gilt aber auch schon für alle komplexen
> Zahlen.
> Was müsste ich denn in Aufgabenteil b zeigen, wenn der
> selbe Beweis sowohl für reelle und komplexe Zahlen gilt?
Du hättest nur b) lösen müssen und könntest dann das Ergebnis auf a) übertragen.
Setze x=a+i*b und y=c+i*d (a, b, c und d reell) und errechne die jeweiligen Beträge entsprechend der Definition des Betrags einer komplexen Zahl.
Gruß Abakus
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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>
> Gruß
> Erstie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Erstie |
Der Beweis für Aufgabenteil b) ist doch der gleiche wie für Aufgabenteil a) , oder?
Beweis für alle komplexen Zahlen x, y:
Sei oBdA [mm] |x|\ge|y|. [/mm] Dann gilt:
||x|-|y|| = |x|-|y| = |x-y+y|-|y| [mm] \le [/mm] (Dreiecksungleichung) |x-y|+|y|-|y|=|x-y| q.e.d.
Damit ist dies für alle reellen Zahlen x,y ebenfalls bewiesen, da die reellen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Sa 27.11.2010 | | Autor: | mathiko |
Hi!
Ich bin mir nicht sicher, ob du bei den komplexen Zahlen einfach so die Beträge wie bei den reelen Zahlen setzen kannst, also das z.B. wirklich ||x|-|y||=|x|-|y| gilt. Wenn ihr das schon bewiesen habt,ist das natürlich was Anderes.
Ich habe den Beweis durch Quadrieren geführt. Mehr dazu findest du hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung
Gruß
mathiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Beweis ist richtig, wenn du die Dreiecksungleichung benutzen darfst.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Erstie |
Vielen Dank für eure Hilfe =)
Gruß Erstie
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