Abschnittsweise Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Di 23.08.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{3}, & \mbox{für } x <1 \\ -x^{2}+ax+b, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases} [/mm] |
a)Man bestimme die Werte von a und b so, dass f stetig differenzierbar auf ganz [mm] \IR [/mm] ist.
b)Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall [-1,2]
Hallo,
hier einmal meine Lösung zu a:
[mm] \limes_{x\rightarrow1-}x^{3}=1
[/mm]
somit muss für
[mm] \limes_{x\rightarrow1}-x^{2}+a*x+b [/mm] auch gleich 1 gelten
[mm] \limes_{x\rightarrow1-}3x^{2}=3
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1}-2x+a
[/mm]
a=2x
a=2
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow1-}x^{3}=\limes_{x\rightarrow1}-x^{2}+a*x+b [/mm]
[mm] x^{3}=-x^{2}+a*x+b [/mm]
[mm] x^{3}=-x^{2}+2x*x+b
[/mm]
[mm] x^{3}=-x^{2}+2x^{2}+b
[/mm]
[mm] x^{3}=x^{2}+b
[/mm]
[mm] b=x^{3}-x^{2} [/mm]
Hab ich alles richtig gemacht? Gibt es Verbesserungsvorschläg?
zu b) Hier muss ich doch dann eigentlich nur den graphen von [mm] x^{3} [/mm] im Intervall von [-1,2] zeichen oder?
mfg
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Hallo RWBK!
Hast Du konkrete Zahlenwerte für $a_$ und $b_$ erhalten? Nein! Damit hast Du auch keine Lösung ermittelt.
Wie kann bei einer Grenzwertbetrachtung [mm] $x\rightarrow [/mm] 1$ anschließend im Term immer noch ein $x_$ vorhanden sein.
Du müsstest mit den beiden Grenzwerten aus Stetigkeit und Differenzierbarkeit ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten $a_$ und $b_$ erhalten.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Di 23.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Stimmt hab da ganz schönen Käse gemacht! werde es nochmal korriegeren und neu hochladen.
mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 23.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo unf guten abend,
kann es sein das die richtigen Lösungen
für a=5 und für b=-5 lauten ?
Mit freundlichen Grüßen
RWBK
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Hallo RWBK,
> Hallo unf guten abend,
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> kann es sein das die richtigen Lösungen
> für a=5 und für b=-5 lauten ?
Also [mm]f(x)=\begin{cases} x^3, & \mbox{fuer } x<1 \\
-x^2+5x-5, & \mbox{fuer } x\ge 1 \end{cases}[/mm]
Das ist doch in [mm]x=1[/mm] nicht einmal stetig, kann also auch nicht differenzierbar sein ...
[mm]\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=1[/mm], aber [mm]\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=-1[/mm]
Zeige mal deine Rechnung, da scheint irgendwas im Argen zu liegen ...
>
> Mit freundlichen Grüßen
> RWBK
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 23.08.2011 | | Autor: | RWBK |
[mm] \limes_{x\rightarrow1-}=x^{3}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1}=-x^{2}+ax+b
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1-}=3x^{2}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1}=-2x+a
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1-}=3x^{2} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow1}=-2x+a
[/mm]
3=-2+a
a=5
[mm] \limes_{x\rightarrow1}=-x^{2}+ax+b
[/mm]
[mm] -1^{2}+5*1+b=1
[/mm]
b =-5
mfg
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Hallo RWBK,
> [mm]\limes_{x\rightarrow1-}=x^{3}[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}=-x^{2}+ax+b[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow1-}=3x^{2}[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}=-2x+a[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow1-}=3x^{2}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}=-2x+a[/mm]
>
> 3=-2+a
> a=5
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}=-x^{2}+ax+b[/mm]
> [mm]-1^{2}+5*1+b=1[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\blue{-}\left(1\right)^{2}+5*1+b=1[/mm]
Du hast gerechnet:
[mm]\left(\blue{-}1\right)^{2}+5*1+b=1[/mm]
> b =-5
>
> mfg
Gruss
MathePower
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