Abschlussoperator < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Mo 19.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Sei [mm] $(X,\tau)$ [/mm] topologischer Raum.
Für den [mm] \textit{Abschlussoperator} [/mm] gilt:
1. [mm] $\overline{\emptyset}=\emptyset$
[/mm]
2. [mm] $M\subseteq\overline{M}~\forall~M\subseteq [/mm] X$
3. [mm] $\overline{\overline{M}}=\overline{M}~\forall~M\subseteq [/mm] X$
4. [mm] $\overline{K\cup M}=\overline{K}\cup\overline{M}~\forall~K,M\subseteq [/mm] X$
Aus 4. folgt noch:
5. [mm] $K\subseteq M\subseteq [/mm] X$ impliziert [mm] $\overline{K}\subseteq\overline{M}$
[/mm]
6. Eine Teilmenge V von X ist genau dann offen, wenn gilt: [mm] $\overline{X\setminus V}=X\setminus [/mm] V$
Sei [mm] $^{-}\colon \mathfrak{P}(X)\to\mathfrak{P}(X)$ [/mm] die Selbstabbildung der Potenzmenge einer beliebigen Menge X. Die Abbildung erfülle die Bedingungen 1.,2.,3. und 4.. Man zeige, daß
[mm] $\theta:=\left\{V\subseteq X~|~\overline{X\setminus V}=X\setminus V\right\}$
[/mm]
eine Topologie auf X ist und daß für den Abschlussoperator
[mm] $M\mapsto \overline{M}^{\theta} (M\subseteq [/mm] X)$ gilt:
[mm] $\overline{M}^{\theta}=\overline{M}$. [/mm] |
Moin, also erstmal möchte ich gerne zeigen, daß [mm] $\theta$ [/mm] eine Topologie auf $X$ bildet.
Allerdings habe ich so meine Probleme:
1.) [mm] $X\in\theta$, [/mm] denn [mm] $\overline{X\setminus X}=\overline{\emptyset}=\emptyset=X\setminus [/mm] X$ (nach Punkt 1)
2.) [mm] $\emptyset\in\theta$, [/mm] denn [mm] $\overline{X\setminus\emptyset}=\overline{X}$
[/mm]
(Ich sehe nicht, wie jetzt folgt, daß [mm] $\overline{X}=X=X\setminus\emptyset$.)
[/mm]
3.) Seien [mm] $O_1,...,O_n\in\theta$. [/mm] Zeigen muss ich, daß [mm] $\bigcap_{i=1}^{n}O_i\in\theta$. [/mm] Auch das bereitet mir Probleme:
[mm] $\overline{X\setminus\bigcap_{i=1}^{n}O_i}=\overline{\bigcup_{i=1}^{n}X\setminus O_i}=\bigcap_{i=1}^{n}\overline{X\setminus O_i}=...?$
[/mm]
4.) Seien [mm] $O_i\in\theta, i\in [/mm] I$. Zu zeigen ist, daß [mm] $\bigcup_{i\in I}O_i\in \theta$:
[/mm]
[mm] $\overline{X\setminus\bigcup_{i\in I}O_i}=\overline{\bigcap_{i\in I}X\setminus O_i}=\bigcup_{i\in I}\overline{X\setminus O_i}=...?$
[/mm]
Ich stecke also bei 2.,3. und 4. fest und bei 1. weiß ich nicht, ob ich voraussetzen darf, daß Punkt 1 gilt.
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](X,\tau)[/mm] topologischer Raum.
>
>
> Für den [mm]\textit{Abschlussoperator}[/mm] gilt:
>
> 1. [mm]\overline{\emptyset}=\emptyset[/mm]
> 2. [mm]M\subseteq\overline{M}~\forall~M\subseteq X[/mm]
> 3.
> [mm]\overline{\overline{M}}=\overline{M}~\forall~M\subseteq X[/mm]
>
> 4. [mm]\overline{K\cup M}=\overline{K}\cup\overline{M}~\forall~K,M\subseteq X[/mm]
>
> Aus 4. folgt noch:
>
> 5. [mm]K\subseteq M\subseteq X[/mm] impliziert
> [mm]\overline{K}\subseteq\overline{M}[/mm]
> 6. Eine Teilmenge V von X ist genau dann offen, wenn gilt:
> [mm]\overline{X\setminus V}=X\setminus V[/mm]
>
> Sei [mm]^{-}\colon \mathfrak{P}(X)\to\mathfrak{P}(X)[/mm] die
> Selbstabbildung der Potenzmenge einer beliebigen Menge X.
> Die Abbildung erfülle die Bedingungen 1.,2.,3. und 4.. Man
> zeige, daß
>
> [mm]\theta:=\left\{V\subseteq X~|~\overline{X\setminus V}=X\setminus V\right\}[/mm]
>
> eine Topologie auf X ist und daß für den
> Abschlussoperator
>
> [mm]M\mapsto \overline{M}^{\theta} (M\subseteq X)[/mm] gilt:
>
> [mm]\overline{M}^{\theta}=\overline{M}[/mm].
> Moin, also erstmal möchte ich gerne zeigen, daß [mm]\theta[/mm]
> eine Topologie auf [mm]X[/mm] bildet.
>
> Allerdings habe ich so meine Probleme:
>
> 1.) [mm]X\in\theta[/mm], denn [mm]\overline{X\setminus X}=\overline{\emptyset}=\emptyset=X\setminus X[/mm]
> (nach Punkt 1)
>
> 2.) [mm]\emptyset\in\theta[/mm], denn
> [mm]\overline{X\setminus\emptyset}=\overline{X}[/mm]
> (Ich sehe nicht, wie jetzt folgt, daß
> [mm]\overline{X}=X=X\setminus\emptyset[/mm].)
Aus 2. folgt doch X [mm] \subseteq \overline{X} \subset [/mm] X, also: X = [mm] \overline{X}
[/mm]
>
> 3.) Seien [mm]O_1,...,O_n\in\theta[/mm]. Zeigen muss ich, daß
> [mm]\bigcap_{i=1}^{n}O_i\in\theta[/mm]. Auch das bereitet mir
> Probleme:
>
> [mm]\overline{X\setminus\bigcap_{i=1}^{n}O_i}=\overline{\bigcup_{i=1}^{n}X\setminus O_i}=\bigcap_{i=1}^{n}\overline{X\setminus O_i}=...?[/mm]
>
> 4.) Seien [mm]O_i\in\theta, i\in I[/mm]. Zu zeigen ist, daß
> [mm]\bigcup_{i\in I}O_i\in \theta[/mm]:
>
> [mm]\overline{X\setminus\bigcup_{i\in I}O_i}=\overline{\bigcap_{i\in I}X\setminus O_i}=\bigcup_{i\in I}\overline{X\setminus O_i}=...?[/mm]
>
>
Bei 3. und 4. ist doch [mm] \overline{X\setminus O_i}=X\setminus O_i [/mm] , da [mm] O_i \in \theta.
[/mm]
>
> Ich stecke also bei 2.,3. und 4. fest und bei 1. weiß ich
> nicht, ob ich voraussetzen darf, daß Punkt 1 gilt.
Natürlich gilt Punkt 1. In den Vor. steht doch:
" Sei $ [mm] ^{-}\colon \mathfrak{P}(X)\to\mathfrak{P}(X) [/mm] $ die Selbstabbildung der Potenzmenge einer beliebigen Menge X. Die Abbildung erfülle die Bedingungen 1.,2.,3. und 4."
FRED
>
>
> Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mo 19.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Danke, jetzt verstehe ich's.
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Weißt Du vielleicht auch, was man mit
[mm] $\overline{M}^{\theta}$
[/mm]
meint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke, jetzt verstehe ich's.
>
> ----
>
> Weißt Du vielleicht auch, was man mit
>
> [mm]\overline{M}^{\theta}[/mm]
der Abschluss von M in der Topologie [mm] \theta.
[/mm]
FRED
>
> meint?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mo 19.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Danke, also wohl:
[mm] $\overline{M}^{\theta}=\bigcap\left\{B\subseteq X~|~B=X\setminus O, O\in\theta, M\subseteq B\right\}
[/mm]
Und welche Topologie meint man dann bei [mm] $\overline{M}$?
[/mm]
Edit: Achso.
Da meint man
[mm] $\overline{M}=\left\{C\subseteq X~|~C=X\setminus O, O\in\tau, M\subseteq C\right\}$, [/mm] denke ich.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke, also wohl:
>
> [mm]$\overline{M}^{\theta}=\bigcap\left\{B\subseteq X~|~B=X\setminus O, O\in\theta, M\subseteq B\right\}[/mm]
Ja
>
>
> Und welche Topologie meint man dann bei [mm]\overline{M}[/mm]?
Zunächst gar keine. [mm]\overline{M}[/mm] ist durch den Abschlussoperator gegeben.
Der Witz der Aufgabe ist , dass
[mm]\overline{M}[/mm]= [mm]\overline{M}^{\theta}[/mm] für jedes M gilt.
FRED
>
>
> Edit: Achso.
>
> Da meint man
>
> [mm]\overline{M}=\left\{C\subseteq X~|~C=X\setminus O, O\in\tau, M\subseteq C\right\}[/mm],
> denke ich.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:34 Mo 19.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich muss doch jetzt zwei Inklusionen zeigen:
1.) [mm] $\overline{M}^{\theta}\subseteq\overline{M}$
[/mm]
2.) [mm] $\overline{M}\subseteq\overline{M}^{\theta}$
[/mm]
[mm] ---------------\textbf{Komplett-Edit:}----------------
[/mm]
Alles nochmal überdacht und das Fazit: Alles muss neu. Das Bisherige dieses Beitrags machte einfach keinen Sinn und war mir fast peinlich. 
Zu 1.)
Ich bezeichne den Hüllenoperator jetzt mal mit H, das ist bequemer.
[mm] $M\subseteq [/mm] H(M)$ nach einer der Eigenschaften des Hüllenop.
Nun gilt für alle [mm] $B\in\overline{M}: M\subseteq [/mm] B, [mm] X\setminus B\in\theta$, [/mm] d.h. [mm] $H(X\setminus (X\setminus [/mm] B)=H(B)=B$, somit
[mm] $M\subseteq H(M)\subseteq [/mm] H(B)=B$, insgesamt
H(M) ist also Teilmenge aller Mengen in [mm] $\overline{M}$ [/mm] und damit
[mm] $H(M)\subseteq \bigcap_{C\in\overline{M}}C$.
[/mm]
Ist das okay?
Zu 2.) könnte ich einen Tipp brauchen, denn da komme ich auch jetzt noch auf keine Idee.
LG [mm] \textit{mikexx}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Mo 19.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Vielleicht bietet es sich ja auch besser an, wenn man eine andere Charakterisierung des Abschlusses nimmt, nämlich:
[mm] $\overline{M}^{\theta}=\left\{x\in X~|~M\cap U\neq\emptyset~\forall~U\in\mathcal{U}(x)\right\}$.
[/mm]
Nu eine Idee.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 21.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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