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| Aufgabe | Topologie [mm] \tau [/mm] := [mm] \{ Y \in P(X) | A \subseteq Y \} \cup \{\emptyset \}
[/mm]
Beschreibe den Abschluss [mm] \overline{E} [/mm] und das Innerse [mm] E^o [/mm] bzgl [mm] \tau [/mm] für eine beliebige Teilmege E [mm] \subseteq [/mm] X je nach lange von E in bezug auf A. |
Hallo
[mm] \overline{E}.. [/mm] kleinste abgeschlossene Menge, die E enthält
[mm] E^o [/mm] .. größte offene Teilmenge von E
STimmt die Übelegung dass [mm] E^o [/mm] leer ist wenn A geschnitten mit E leer ist?
Ich weiß nicht sor richtig mit der aufgabe anzufangen. Wie überlegt man sich soetwas am besten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:43 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo theresetom,
> STimmt die Übelegung dass [mm]E^o[/mm] leer ist wenn A geschnitten
> mit E leer ist?
Falls [mm] $A\not=\emptyset$: [/mm] Ja.
> Ich weiß nicht sor richtig mit der aufgabe anzufangen. Wie
> überlegt man sich soetwas am besten?
1. Überlege dir zunächst, wie sämtliche offene und abgeschlossene Teilmengen von X aussehen.
2. Wie sehen somit die offenen Teilmengen von E aus? Wie die abgeschlossenen Mengen, die E umfassen?
3. Versuche, die Charakterisierung von 2. je nach Lage von E zu A zu konkretisieren.
4. Suche mithilfe von 3. in den einzelnen Fällen die größte offene Teilmenge von E und die kleinste abgeschlossene Menge, die E umfasst.
Viel Erfolg!
Viele Grüße
Tobias
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Alle teilmengen von X die A enthalten sind offen. Alle Mengen die A nicht enthalten sind abgeschlossen. Bez. E: Alle teilmengen von X die A und E enthalten offen und alle die nicht A jedoch E enthalten sind abg.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > 1. Überlege dir zunächst, wie sämtliche offene und abgeschlossene Teilmengen von X aussehen.
> Wie kann ich von den ganz allg fall auf die genaue
> Charaktersidierung kommen? ich meine wie kann ich 1.
> beantworten ohne nicht schon hier die Lösung des Bsp als
> Antwort verwenden zu müssen?
Mir ist deine Frage nicht ganz klar. Bei meinem Punkt 1. geht es völlig unabhängig von der Menge $E$ um die Bestimmung aller offenen und abgeschlossenen Teilmengen des gesamten topologischen Raumes [mm] $(X,\tau)$. [/mm] Diese Teilmengen zu kennen, ist wohl nötig, um 2. und damit 3. und damit 4. zu lösen.
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Hallo,
Ich habe die erste Frage falsch gelesen, deshalb kam die Frage auf.
> 1. Überlege dir zunächst, wie sämtliche offene und abgeschlossene Teilmengen von X aussehen.
Alle Teilmengen von X, die A enthalten sind offen.
Alle Teilmengen von X, die A nicht enthalten sind abgeschlossen.
> 2. Wie sehen somit die offenen Teilmengen von E aus? Wie die abgeschlossenen Mengen, die E umfassen?
Alle Teilmengen von X, die A enthalten und E.
Alle Teilmengen von X, die A nicht enthalten und die E enthalten.
> 3. Versuche, die Charakterisierung von 2. je nach Lage von E zu A zu konkretisieren.
Da komme ich nicht ganz drauf.
Kommt es hier auf den Schnitt zwischen A und E an?
Wenn dieser nicht leer ist können ja die abgeschlossenen Mengen nicht als solches existieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > 1. Überlege dir zunächst, wie sämtliche offene und
> abgeschlossene Teilmengen von X aussehen.
> Alle Teilmengen von X, die A enthalten sind offen.
Außerdem ist die leere Menge offen.
> Alle Teilmengen von X, die A nicht enthalten sind
> abgeschlossen.
Nein. Abgeschlossene Mengen sind nicht etwa "nicht offene Mengen" sondern Komplemente offener Mengen in X.
> > 2. Wie sehen somit die offenen Teilmengen von E aus? Wie
> die abgeschlossenen Mengen, die E umfassen?
> Alle Teilmengen von X, die A enthalten und E.
Nein. Offene Teilmengen von $E$ sind genau die leere Menge und die Mengen $U$ mit [mm] $A\subseteq U\subseteq [/mm] E$.
> Alle Teilmengen von X, die A nicht enthalten und die E
> enthalten.
>
>
> > 3. Versuche, die Charakterisierung von 2. je nach Lage von
> E zu A zu konkretisieren.
> Da komme ich nicht ganz drauf.
> Kommt es hier auf den Schnitt zwischen A und E an?
> Wenn dieser nicht leer ist können ja die abgeschlossenen
> Mengen nicht als solches existieren.
Versuche es nochmal nach obigen Korrekturen! Der Schnitt von A und E spielt tatsächlich eine gewisse Rolle... 
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Ich hätte dazu paar Fragen:
> Nein. Abgeschlossene Mengen sind nicht etwa "nicht offene Mengen" sondern Komplemente offener Mengen in X.
X ohne [mm] \tau [/mm] sind doch alle Teilmengen von X, ohne die, die A enthalten.
Also alle Teilmenge von X die [mm] A^c [/mm] enthalten?
> Offene Teilmengen von $ E $ sind genau die leere Menge und die Mengen $ U $ mit $ [mm] A\subseteq U\subseteq [/mm] E $
Warum soll gelten: [mm] U\subseteq [/mm] E. Sollte das nicht umgekehrt sein?
Abgeschlossene Teilmengen von E sind dann die Mengen F mit [mm] A^c \subseteq [/mm] F und E [mm] \subseteq [/mm] F
Ich bin bez. Topologie in der Analysis nicht so wiff. (Wie wird das erst wenn ich eine eigene Vo. zu dem Thema hab..)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Nein. Abgeschlossene Mengen sind nicht etwa "nicht offene
> Mengen" sondern Komplemente offener Mengen in X.
> X ohne [mm]\tau[/mm] sind doch alle Teilmengen von X, ohne die, die
> A enthalten.
Mit "$X$ ohne [mm] $\tau$" [/mm] meinst du die Menge aller [mm] $X\setminus [/mm] Y$ für [mm] $Y\in\tau$? [/mm] Diese Menge wäre die Menge aller abgeschlossenen Teilmengen von $X$.
Die abgeschlossenen Teilmengen von $X$ sind NICHT die Teilmengen [mm] $F\subseteq [/mm] X$, die $A$ nicht enthalten, sondern die Teilmengen [mm] $F\subseteq [/mm] X$ mit [mm] $X\setminus [/mm] F$ offen, also mit [mm] $A\subseteq X\setminus [/mm] F$ oder [mm] $X\setminus F=\emptyset$.
[/mm]
Was bedeutet [mm] $A\subseteq X\setminus [/mm] F$ (unter Berücksichtigung von [mm] $A\subseteq [/mm] X$)?
Was bedeutet [mm] $X\setminus F=\emptyset$ [/mm] (unter Berücksichtigung von [mm] $F\subseteq [/mm] X$)?
> Also alle Teilmenge von X die [mm]A^c[/mm] enthalten?
Nein.
> > Offene Teilmengen von [mm]E[/mm] sind genau die leere Menge und die
> Mengen [mm]U[/mm] mit [mm]A\subseteq U\subseteq E[/mm]
> Warum soll gelten:
> [mm]U\subseteq[/mm] E. Sollte das nicht umgekehrt sein?
Nein. Gefragt war nach offenen TEILMENGEN VON E. [mm] $U\subseteq [/mm] E$ bedeutet gerade "U ist Teilmenge von E".
> Abgeschlossene Teilmengen von E sind dann die Mengen F mit
> [mm]A^c \subseteq[/mm] F und E [mm]\subseteq[/mm] F
(Wir suchen nicht abgeschlossene Teilmengen von E, sondern abgeschlossene Mengen, die E umfassen, aber Letzteres hast du durch [mm] $E\subseteq [/mm] F$ ja richtig ausgedrückt.) Folgerichtig.
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Hallo
> -) Abgecshlossene Mengen
> Alle Teilmengen von F [mm] \subseteq [/mm] X , mit X [mm] \setminus [/mm] F offen. (D.h. A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] F oder X [mm] \setminus [/mm] F = leer)
Wobei letzteres bedeutet X=F
-) abgeschlossene Teilmenge , die E umfassen sind X und A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] F , E [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] F
> 3. Versuche, die Charakterisierung von 2. je nach Lage von E zu A zu konkretisieren.
Sei A [mm] \not= [/mm] leer :Ist A [mm] \cup [/mm] E = leer -> gibt keine offene mengen von E
da dann A [mm] \subseteq [/mm] E nicht gelten kann.
Bei den abgeschlossenen Mengen konnte ich keine konkretisierung finden, da ja nur A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] F , E [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] F und da ist es doch egal ob es einen schnitt zwischen A und E gibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Fr 12.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > -) Abgecshlossene Mengen
> > Alle Teilmengen von F [mm]\subseteq[/mm] X , mit X [mm]\setminus[/mm] F
> offen. (D.h. A [mm]\subseteq[/mm] X [mm]\setminus[/mm] F oder X [mm]\setminus[/mm] F
> = leer)
> Wobei letzteres bedeutet X=F
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $A\subseteq X\setminus [/mm] F$ ist (unter Berücksichtigung von [mm] $A\subseteq [/mm] X$) gleichbedeutend mit [mm] $A\cap F=\emptyset$.
[/mm]
Die abgeschlossenen Teilmengen von $X$ sind also genau die Teilmengen [mm] $F\subseteq [/mm] X$ mit $F=X$ oder [mm] $A\cap F=\emptyset$.
[/mm]
> -) abgeschlossene Teilmenge , die E umfassen sind X und A
> [mm]\subseteq[/mm] X [mm]\setminus[/mm] F , E [mm]\subseteq[/mm] X [mm]\setminus[/mm] F
Die abgeschlossenen Teilmengen [mm] $F\subseteq [/mm] X$, die $E$ umfassen, sind genau $F=X$ und alle Mengen $F$ mit [mm] $E\subseteq F\subseteq [/mm] X$ und [mm] $F\cap A=\emptyset$.
[/mm]
Die offenen Teilmengen von $E$ sind genau die leere Menge und alle Mengen $U$ mit [mm] $A\subseteq U\subseteq [/mm] E$.
> > 3. Versuche, die Charakterisierung von 2. je nach Lage von
> E zu A zu konkretisieren.
> Sei A [mm]\not=[/mm] leer :Ist A [mm]\cup[/mm] E = leer
[mm] $\cap$ [/mm] statt [mm] $\cup$ [/mm] meinst du, oder?
-> gibt keine offene
> mengen von E
Es gibt in diesem Fall keine offenen Teilmengen von E außer der leeren Menge.
> da dann A [mm]\subseteq[/mm] E nicht gelten kann.
und es somit keine Menge $U$ mit [mm] $A\subseteq U\subseteq [/mm] E$ geben kann.
Genauso kann man den allgemeineren Fall [mm] $A\not\subseteq [/mm] E$ behandeln: In diesem Fall ist die leere Menge die einzige offene Teilmenge von $E$.
Im Falle [mm] $A\subseteq [/mm] E$ sind die offenen Teilmengen von $E$ neben der leeren Menge die Mengen $U$ mit [mm] $A\subseteq U\subseteq [/mm] E$, worunter beispielsweise $A$ und $E$ fallen.
> Bei den abgeschlossenen Mengen konnte ich keine
> konkretisierung finden, da ja nur A [mm]\subseteq[/mm] X [mm]\setminus[/mm]
> F , E [mm]\subseteq[/mm] X [mm]\setminus[/mm] F und da ist es doch egal ob
> es einen schnitt zwischen A und E gibt.
Im Falle [mm] $A\cap E\not=\emptyset$ [/mm] gilt für alle Mengen $F$ mit [mm] $E\subseteq [/mm] F$ ebenfalls [mm] $A\cap F\not=\emptyset$. [/mm] Daher ist in diesem Fall $F=X$ die einzige abgeschlossene Teilmenge von $X$, die $E$ umfasst.
Im Falle [mm] $A\cap E=\emptyset$ [/mm] sind die abgeschlossenen Teilmengen [mm] $F\subseteq [/mm] X$, die $E$ umfassen, neben $F=X$ die Mengen $F$ mit [mm] $E\subseteq F\subseteq [/mm] X$ und [mm] $A\cap F=\emptyset$, [/mm] z.B. $F=E$.
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