Abschätzungen für Ereignisse < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Mo 29.04.2013 | | Autor: | f12 |
Hallo Forum
Ich habe zwei Fragen:
1. Ist es richtig, wenn ich eine Folge von nicht negativen Z.V. [mm] $(X_n)$ [/mm] habe so dass [mm] $E[X_n]\le [/mm] K$, wobei $K$ eine Konstante ist, unabhängig von $n$. Dann stimmt doch, dass es für jede [mm] $\epsilon [/mm] >0$ gibt es eine Menge $A$ mit [mm] $P(A)>1-\epsilon$ [/mm] und für alle [mm] $\omega\in [/mm] A$ gilt [mm] $0\le X_n(\omega)\le [/mm] K$, richtig? Wobei $X$ eine Z.V. mit [mm] $X_n\to [/mm] X$ in Wahrscheinlichkeit.
2. Wenn ich weiss, dass [mm] $\lim\sup_n P(|X_n-X|> \delta)>\delta$ [/mm] gilt. Kann ich dann folgern mit 1, dass [mm] $\lim\sup_nP(|X_n-X|>\delta, X_n\le K)\ge \delta$, [/mm] wobei ich vielleicht das [mm] $\delta$ [/mm] durch das [mm] \epsilon [/mm] aus $1.)$ austauschen muss?
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Mo 29.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo f12,
> 1. Ist es richtig, wenn ich eine Folge von nicht negativen
> Z.V. [mm](X_n)[/mm] habe so dass [mm]E[X_n]\le K[/mm], wobei [mm]K[/mm] eine Konstante
> ist, unabhängig von [mm]n[/mm]. Dann stimmt doch, dass es für jede
> [mm]\epsilon >0[/mm] gibt es eine Menge [mm]A[/mm] mit [mm]P(A)>1-\epsilon[/mm] und
> für alle [mm]\omega\in A[/mm] gilt [mm]0\le X_n(\omega)\le K[/mm], richtig?
> Wobei [mm]X[/mm] eine Z.V. mit [mm]X_n\to X[/mm] in Wahrscheinlichkeit.
Das ist Quatsch. Betrachte etwa alle [mm] $X_n=X$, [/mm] $X$ Laplace-verteilt auf [mm] $\{0,2\}$ [/mm] und $K=1$.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mo 29.04.2013 | | Autor: | f12 |
Grüss dich Tobi
Danke für deine Antwort! Ich war etwas vorschnell mit tippen. Ich weiss zusätzlich, dass [mm] $X_n$ [/mm] beschränkt in Wahrscheinlichkeit sind, d.h. [mm] $\lim_{r\to\infty} \sup_n P(X_n>r)=0$. [/mm] Kann ich daraus 1.) als richtig erachten?
Und was ist mit 2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mo 29.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Danke für deine Antwort! Ich war etwas vorschnell mit
> tippen. Ich weiss zusätzlich, dass [mm]X_n[/mm] beschränkt in
> Wahrscheinlichkeit sind, d.h. [mm]\lim_{r\to\infty} \sup_n P(X_n>r)=0[/mm].
Das sind die von mir angegebenen [mm] $X_n$ [/mm] auch.
> Kann ich daraus 1.) als richtig erachten?
Nein.
> Und was ist mit 2?
Wenn die [mm] $X_n$ [/mm] in Wahrscheinlichkeit gegen $X$ konvergieren, ist für alle [mm] $\delta>0$
[/mm]
[mm] $\lim sup_{n\to\infty}P(|X_n-X|>\delta)=\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|>\delta)=0$.
[/mm]
Also kann die Voraussetzung bei 2. sowieso nie eintreten.
Oder sollen die [mm] $X_n$ [/mm] in 2. nicht mehr in Wahrscheinlichkeit gegen $X$ konvergieren? In diesem Fall liste bitte vollständig auf, welche Voraussetzungen du bei 2. annehmen willst.
(Verrate außerdem, was du genau mit [mm] $\delta$ [/mm] durch [mm] $\varepsilon$ [/mm] ersetzen meinst.)
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