Abschätzung zweier Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 So 02.12.2007 | | Autor: | marteen |
| Aufgabe | Sei [mm] a_{n}:=1+\bruch{1}{1!}+\ldots+\bruch{1}{n!}
[/mm]
(a) Zeige für m>n gilt [mm] 0
Tip: [mm] (n+1)(n+2)\ldots(n+k)\ge(n+1)^{k}
[/mm]
(b) Folgere, dass [mm] 0 |
Hallo,
ich hänge mal wieder in Analysis.
Ich suche seit geraumer Zeit meinen Denkfehler aber finde ihn nicht. Ich schreibe einfach mal meine Rechnung.
Wähle m = n+k
[mm] \Rightarrow a_{m}-a_{n}=\bruch{1}{(n+1)!}+\bruch{1}{(n+2)!}+ \ldots+\bruch{1}{(n+k)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n!}(\bruch{1}{(n+1)}+\bruch{1}{(n+1)(n+2)}+\ldots+ \bruch{1}{(n+1)(n+2) \ldots (n+k)}
[/mm]
Jetzt habe ich den Tip angewendet
[mm] \le\bruch{1}{n!} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)^{2}} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)^{k}}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{k} \bruch{1}{n!} \* \bruch{1}{(n+1)^{k}}
[/mm]
Indexverschiebung (ist hier vielleicht der Fehler?)
[mm] \summe_{i=0}^{k+1} \bruch{1}{n!} \* \bruch{1}{(n+1)^{k+1}}
[/mm]
Dann habe ich die endlich geometrische Reihe benutzt, bzw erstmal umgeformt (hier vielleicht der Fehler?
zu: [mm] \summe_{i=0}^{k+1} \bruch{1}{n!} \* \bruch{1}{n+1} \* \bruch{1}{(n+1)^{k}}
[/mm]
Jetzt die geometrische Reihe:
[mm] \bruch{1}{n! (n+1)} \* \bruch{1}{1-\bruch{1}{n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n!n + n!} \* \bruch{n+1}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{n+1}{n!n^{2} + n!n}
[/mm]
Ausgeklammert
[mm] =\bruch{n+1}{n!n (n+1)}
[/mm]
Dann gekürzt
[mm] =\bruch{1}{n!n}
[/mm]
Da habe ich das Ergebnis. Aber es ist ja nur einmal ein kleinergleich vorgekommen, kein echt-kleiner. Ich finde meinen Denkfehler nicht, hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 So 02.12.2007 | | Autor: | SpoOny |
> = [mm]\summe_{i=1}^{k} \bruch{1}{n!} \* \bruch{1}{(n+1)^{k}}[/mm]
kannst du nicht [mm] \bruch{1}{n!}*[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{k} \bruch{1}{(n+1)^{i}}[/mm]
so vorziehen?? sieht für mich einfacher aus
deine Indexverschiebung von 1 auf 0 mus doch auch bis k-1 gehen und nicht k+1 oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 So 02.12.2007 | | Autor: | marteen |
Hallo Spoony,
ja ich glaube du hast recht, dass die Summe bis k-1 läuft. Aber ist es richtig in der Summe auf k+1 zu ändern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 So 02.12.2007 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
der Tip hat schon ein < wenn k>1! dann hast du dein echtes <
2. wenn du das n! weglässt und direkt
$ \summe_{i=1}^{k} \bruch{1}{(n+1)}^{k}} $
mit q=\bruch{1}{(n+1)} ist das doch $= \summe_{i=0}^{k} q^k -q^0$
das gibt dasselbe Ergebnis, aber was schneller!
Aber auch dein Weg ist fehlerfrei!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 So 02.12.2007 | | Autor: | marteen |
Hallo leduart,
ist auch meine Indexverschiebung korrekt?
Mehrere Kommilitonen haben mir mittlerweile gesagt, dass ich das so nicht machen darf bzw. dass das Unfug sei [mm] (n+1)^{k} [/mm] zu [mm] (n+1)^{k+1} [/mm] zu machen.
Sie haben den Wert für k=0 (1) von der Summe abgezogen. Das erscheint mir auch relativ logisch, das Ergebnis ist allerdings das selbe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 So 02.12.2007 | | Autor: | marteen |
Ich habe mir noch einmal Gedanken gemacht. Die korrekte Indexverschiebung müsste sein: $ [mm] \summe_{i=0}^{k-1} \bruch{1}{n!} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(n+1)^{k+1}} [/mm] $ , oder verstehe ich das falsch? Ich fange um eins früher an und muss daher um eins früher aufhören, um an der Summe nichts zu ändern muss ich hier mit dem k+1'ten Glied anfangen - damit fange ich bei 1 an und höre bei k auf. Oder?
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Hallo, achte auf die Laufvariable - der Laufindex ist i, nicht k.
$ [mm] \summe_{i=0}^{k-1} \bruch{1}{n!} \cdot{} \bruch{1}{(n+1)^{\red{i} +1}} [/mm] $
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