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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2n^{2} + 3n -1}{n^{2} + 5n - 5}
[/mm]
den Grenzwert 2 besitzt, indem Sie zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine Zahl [mm] N(\varepsilon) \in [/mm] N so angeben, dass für
alle n [mm] \in [/mm] N gilt:
n > N( [mm] \varepsilon [/mm] ) [mm] \Rightarrow |a_{n}-2| [/mm] |
Also ich hab so angesetzt:
| [mm] a_{n}-2| [/mm] = | [mm] \bruch{2n^{2} + 3n -1}{n^{2} + 5n - 5} [/mm] |
da Zähler sowie Nenner > 0 sind habe ich die Beträge aufgelöst und abgeschätzt, dass das < [mm] \bruch{2n^{2}}{n^{2}} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Mir fällt ansonsten auch nicht viel ein, wie ich abschätzen könnte. Ich könnte eventuell Binome aus zähler und nenner basteln, aber ich wollte eigentlich die höchste potenz nicht anfassen. Habt ihr eine Idee wie man diesen epsilon beweis zum erfolg führt?
frage nirgends sonst gestellt.
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Hallo ImminentMatt,
das Ergebnis ist doch etwas kraus. Zu jedem beliebigen (vor allem aber: beliebig kleinen!) [mm] \varepsilon [/mm] kannst Du also abschätzen, dass [mm] 2<\varepsilon [/mm] ist?
Das hilft doch nicht weiter.
Die Aufgabenstellung stimmt schon nicht, und die folgende Rechnung auch nicht. Hier ein paar Korrekturen:
> Zeigen Sie, dass
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{2n^{2} + 3n -1}{n^{2} + 5n - 5}[/mm]
>
> den Grenzwert 2 besitzt, indem Sie zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm]
> eine Zahl [mm] \red{N(\varepsilon) \in\IN} [/mm] so angeben, dass für
> alle [mm] \red{n>N(\varepsilon)\Rightarrow |a_{n}-2|<\varepsilon} [/mm] .
So ungefähr muss es geheißen haben, inhaltlich sogar genau so!
> Also ich hab so
> angesetzt:
>
> | [mm]a_{n}-2|[/mm] = | [mm]\bruch{2n^{2} + 3n -1}{n^{2} + 5n - 5}[/mm] |
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Das würde ja heißen, dass [mm] |a_n-2|=|a_n| [/mm] ist. Wo ist das [mm] \varepsilon?
[/mm]
> da Zähler sowie Nenner > 0 sind habe ich die Beträge
> aufgelöst und abgeschätzt, dass das <
> [mm]\bruch{2n^{2}}{n^{2}}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] ist.
Quatsch, wie schon gesagt.
> Mir fällt ansonsten auch nicht viel ein, wie ich
> abschätzen könnte. Ich könnte eventuell Binome aus
> zähler und nenner basteln, aber ich wollte eigentlich die
> höchste potenz nicht anfassen. Habt ihr eine Idee wie man
> diesen epsilon beweis zum erfolg führt?
Dein Ansatz muss doch lauten [mm] |a_n-2|<\varepsilon.
[/mm]
Du kannst leicht zeigen, dass für k>1 alle [mm] a_k<2 [/mm] sind.
Also geht es nur noch um [mm] 2-a_n<\varepsilon
[/mm]
Da musst Du die Formel für [mm] a_n [/mm] einsetzen und dann nach n auflösen - was nur über eine quadratische Gleichung geht und sicher nicht darüber, dass Du irgend etwas "nicht anfasst". Bei einer quadratischen Gleichung bekommst Du ja normalerweise zwei Lösungen (oder eine oder keine), da es sich hier aber um eine Ungleichung handelt, musst Du schon noch etwas genauer schauen, was Dir Deine Lösungen eigentlich sagen: kannst Du so ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] bestimmen?
Dann mal los. Viel Erfolg!
reverend
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Ohhh du hast recht ich hab den Ansatz der Dozentin missverstanden. Ich habe mich flott dran gemacht und habe als zwischenwert:
| [mm] \bruch{-7n + 9}{ n^{2} + 5n - 5} [/mm] |
Ich habe nicht viel weiter gemacht als die meine folge für [mm] a_{n} [/mm] einzusetzen ( in beträgen natürlich ) und die -2 mit dem Nenner erweitert und mit dem Zähler verrechnet.
Wie löse ich denn korrekt den betrag des zählers auf? So wie er da steht ist nur für n=1 positiv ansonsten negativ. Oder hab ich wieder was falsch gemacht?
Ich würde das ganze ja gerne auf die Form [mm] \bruch{7}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] bringen, aber ich bin mir nicht so sicher ob das legitim geht.
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Hallo nochmal,
das sieht doch schon viel besser aus.
Doch, du kannst Deinen Ansatz mit den [mm] \tfrac{7}{n} [/mm] nehmen, wenn gilt
[mm] |a_n-2|\le \bruch{7}{n}<\varepsilon
[/mm]
Das ist nun leicht zu zeigen. Du findest so zwar nicht das kleinste [mm] N(\varepsilon) [/mm] mit der geforderten Eigenschaft, aber das hat ja auch niemand verlangt. Du solltest nur eins finden, das die Bedingungen erfüllt.
Du kannst übrigens getrost von Beginn an n=1 ausschließen, da sparst Du Dir alle Probleme mit dem Betrag. Interessant sind hier deutlich größere n bzw. [mm] N(\varepsilon), [/mm] weil man ja wissen will, ob es zu jedem beliebig kleinen [mm] \varepsilon [/mm] noch ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] gibt.
lg
rev
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Also ich schreib das mal sauber auf, damit das nachvollzogen werden kann:
Aus: | [mm] a_{n}-2| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich betrachte nur die linke seite erstmal:
=| [mm] \bruch{2n^{2}+3n-1-2(n^{2}+5n-5)}{n^{2}+5n-5} [/mm] |
=| [mm] \bruch{-7n+9}{n^{2}+5n-5} [/mm]
n [mm] \not= [/mm] 1 [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{7n-9}{n^{2}+5n-5} [/mm] < [mm] \bruch{7n}{n^{2}+5n-5} [/mm] < [mm] \bruch{7n}{n^{2}-5} [/mm] (das ist alles noch kleiner als epsilon)
Verstehe ich dich jetzt richtig, dass ich die -5 wegfallen lassen darf? Wenn du mir den Schritt noch zeigen kannst, dann muss ich ja nur noch nach epsilon umformen oder nicht?
Edit: Also ich hab die -5 jetzt rausgenommen, da ich meine aussage damit nicht verfälsche meine linke seite ist damit immernoch kleiner als epsilon und jetzt habe ich:
n> [mm] \bruch{7}{\varepsilon}
[/mm]
Wie komme ich jetzt zu meinem N( [mm] \varepsilon [/mm] ) ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Also ich schreib das mal sauber auf, damit das
> nachvollzogen werden kann:
>
>
>
> Aus: | [mm]a_{n}-2|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> Ich betrachte nur die linke seite erstmal:
Schreibe am Besten an dieser Stelle schon: Sei o.B.d.A. $n>1$ (d.h. [mm] $n\geqslant [/mm] 2$), dann gilt:
[mm] $|a_n-2|=|\frac{2n^{2}+3n-1}{n^{2}+5n-5}-2|=$
[/mm]
> =| [mm]\bruch{2n^{2}+3n-1-2(n^{2}+5n-5)}{n^{2}+5n-5}[/mm] |
> =| [mm]\bruch{-7n+9}{n^{2}+5n-5}[/mm] |
> = [mm]\bruch{7n-9}{n^{2}+5n-5}[/mm]
> < [mm]\bruch{7n}{n^{2}+5n-5}[/mm]
> < [mm]\bruch{7n}{n^{2}-5}[/mm] (das ist alles noch kleiner als
> epsilon)
Hier musst Du Obacht geben: Lasse nicht nur $5n$ wegfallen, denn das bringt Dir nicht viel und fuehrt zu einer falschen Ungleichung, denn fuer $n=2$ steht rechts was negatives, denn [mm] $n^2-5$ [/mm] hat fuer $n=2$ den Wert $-1$. Du weisst aber fuer [mm] $n\geqslant [/mm] 2$ gilt $5n-5>1$, daher gilt insgesamt [mm] $n^2+5n-5>n^2$ [/mm] also [mm] $\frac{1}{n^2+5n-5}<\frac{1}{n^2}$ [/mm] und (da $7n>0$) damit [mm] $\frac{7n}{n^2+5n-5}<\frac{7n}{n^2}=\frac{7}{n}$. [/mm] Kurz: Letzte Abschaetzung muss folgendermassen aussehen:
> (...) < [mm]\bruch{7n}{n^{2}+5n-5}[/mm]
> < [mm]\bruch{7n}{n^{2}}=\frac{7}{n}[/mm]
Sei nun [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig aber fest, dann waehle [mm] $N=N(\varepsilon):=\frac{7}{\varepsilon}$. [/mm] Nun gilt fuer alle [mm] $n\geqslant N=\frac{7}{\varepsilon}$ [/mm] (d.h. insbesondere: [mm] $\frac{7}{n}\leqslant\varepsilon$)
[/mm]
[mm] \frac{7}{n}\leqslant\varepsilon.
[/mm]
> Verstehe ich dich jetzt richtig, dass ich die -5 wegfallen
> lassen darf? Wenn du mir den Schritt noch zeigen kannst,
> dann muss ich ja nur noch nach epsilon umformen oder
> nicht?
siehe oben.
> Edit: Also ich hab die -5 jetzt rausgenommen,
ich weiss zwar nicht, wie Du das genau gemacht hast, aber wenn es von meiner Version abweicht, sollte es falsch sein, da es an dieser Stelle nicht viele Moeglichkeiten gibt.
> da ich meine
> aussage damit nicht verfälsche meine linke seite ist damit
> immernoch kleiner als epsilon und jetzt habe ich:
>
> n> [mm]\bruch{7}{\varepsilon}[/mm]
>
> Wie komme ich jetzt zu meinem N( [mm]\varepsilon[/mm] ) ?
siehe oben.
Gruss
Denny
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