Abschätzung Wurzel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 So 01.04.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
wie lässt sich zeigen, dass
[mm] $\sqrt{|x+y|^2+1}\leqslant C(y)+\sqrt{|x|^2+1}$, $x,y\in\IR^d$
[/mm]
gilt. Und wie sieht dann $C(y)$ aus, bzw. wie könnte $C(y)$ beispielswiese aussehen?
Muss man hier Konkavität der Wurzelfunktion verwenden? Mir fehlen irgendwie die Ideen. Laut meiner verwendeten Quelle muss dies funktionieren.
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 So 01.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo an alle,
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> wie lässt sich zeigen, dass
>
> [mm]\sqrt{|x+y|^2+1}\leqslant C(y)+\sqrt{|x|^2+1}[/mm], [mm]x,y\in\IR^d[/mm]
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> gilt. Und wie sieht dann [mm]C(y)[/mm] aus, bzw. wie könnte [mm]C(y)[/mm]
> beispielswiese aussehen?
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> Muss man hier Konkavität der Wurzelfunktion verwenden? Mir
> fehlen irgendwie die Ideen. Laut meiner verwendeten Quelle
> muss dies funktionieren.
>
> Danke im Vorraus
Hallo,
ich habe nur eine vage Vermutung.
Deine Ungleichung ist äquivalent zu
[mm]\sqrt{|x+y|^2+1}-\sqrt{|x|^2+1}\leqslant C(y)[/mm],
und das wiederum führt zu
[mm]\frac{\sqrt{|x+y|^2+1}-\sqrt{|x|^2+1}}{|y|}\le \frac{ C(y)}{|y|}[/mm]
Der linke Term sieht nach einem Differenzenquotienten aus, der irgendwie nach oben abgeschätzt werden kann... (z.B.) durch den Anstieg von f(y)=[mm]\wurzel{|x+y|^2+1}[/mm].
Gruß Abakus
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Hiho,
wie abakus dir bereits schrieb, lässt sich das ganze nun Umformen.
Lasse als Begründung den MWS im Mehrdimensionalen auf die Funktion [mm] $f_x(y) [/mm] = [mm] \sqrt{|x + y|^2 + 1}$ [/mm] los.
Dann erhälst du auch direkt dein C(y) (was zwar nicht schön aussieht, sich aber zumindest explizit angeben lässt).
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 So 01.04.2012 | | Autor: | Denny22 |
Zunächst danke ich Euch beiden für Eure Antworten.
Mal sehen, ob ich es richtig verstanden habe: Wir betrachten die Funktion
[mm] $f_x(y)=\sqrt{|x+y|^2+1}$, $x,y\in\IR^d$, $f_x:\IR^d\rightarrow\IR$
[/mm]
mit totaler Ableitung (Gradient)
[mm] $Df_x(y)=\nabla_y f_x(y)=\frac{2(x+y)^T}{\sqrt{|x+y|^2+1}}$.
[/mm]
Der Mittelwertsatz besagt nun
[mm] $f_x(y)-f_x(0)=\int_0^1 Df_x(ty)dt\cdot(y-0)$
[/mm]
oder anders gesagt
[mm] $\sqrt{|x+y|^2+1}-\sqrt{|x|^2+1}=\int_0^1 \frac{2(x+ty)^T}{\sqrt{|x+ty|^2+1}}dt\cdot [/mm] y$.
Nun erhalten wir aus der Tatsache
[mm] $\frac{|z|}{\sqrt{|z|^2+1}}\leqslant [/mm] 1$, [mm] $z\in\IR^d$
[/mm]
die Abschätzung
[mm] $\sqrt{|x+y|^2+1}-\sqrt{|x|^2+1}\leqslant\left|\sqrt{|x+y|^2+1}-\sqrt{|x|^2+1}\right|\leqslant 2\int_0^1\frac{|x+ty|}{\sqrt{|x+ty|^2+1}}dt\cdot |y|\leqslant [/mm] 2|y|$
Bringen wir den 2. Term auf die rechte Seite, so erhalten wir
[mm] $\sqrt{|x+y|^2+1}\leqslant 2|y|+\sqrt{|x|^2+1}$
[/mm]
mit $C(y)=2|y|$.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Mo 02.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zunächst danke ich Euch beiden für Eure Antworten.
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> Mal sehen, ob ich es richtig verstanden habe: Wir
> betrachten die Funktion
>
> [mm]f_x(y)=\sqrt{|x+y|^2+1}[/mm], [mm]x,y\in\IR^d[/mm],
> [mm]f_x:\IR^d\rightarrow\IR[/mm]
>
> mit totaler Ableitung (Gradient)
>
> [mm]Df_x(y)=\nabla_y f_x(y)=\frac{2(x+y)^T}{\sqrt{|x+y|^2+1}}[/mm].
>
> Der Mittelwertsatz besagt nun
>
> [mm]f_x(y)-f_x(0)=\int_0^1 Df_x(ty)dt\cdot(y-0)[/mm]
>
> oder anders gesagt
>
> [mm]\sqrt{|x+y|^2+1}-\sqrt{|x|^2+1}=\int_0^1 \frac{2(x+ty)^T}{\sqrt{|x+ty|^2+1}}dt\cdot y[/mm].
>
> Nun erhalten wir aus der Tatsache
>
> [mm]\frac{|z|}{\sqrt{|z|^2+1}}\leqslant 1[/mm], [mm]z\in\IR^d[/mm]
>
> die Abschätzung
>
> [mm]\sqrt{|x+y|^2+1}-\sqrt{|x|^2+1}\leqslant\left|\sqrt{|x+y|^2+1}-\sqrt{|x|^2+1}\right|\leqslant 2\int_0^1\frac{|x+ty|}{\sqrt{|x+ty|^2+1}}dt\cdot |y|\leqslant 2|y|[/mm]
>
> Bringen wir den 2. Term auf die rechte Seite, so erhalten
> wir
>
> [mm]\sqrt{|x+y|^2+1}\leqslant 2|y|+\sqrt{|x|^2+1}[/mm]
>
> mit [mm]C(y)=2|y|[/mm].
>
> Stimmt das so?
Ja
FRED
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