Abschätzung Kurvenintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:54 Fr 24.01.2014 | | Autor: | Roodie |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \int_{-\infty}^\infty \frac{x \sin x}{x^2+a^2} [/mm] dx. |
Lieber Matheraum,
für die Berechnung dieser Aufgabe habe ich das Standardverfahren genommen. Es ging bis auf zwei kleine Stolpersteine ganz gut.
Der erste Stolperstein ist, dass ich nicht die Existenz des Integralwertes zeigen kann. Ich finde leider keine konvergente Majorante.
Ich betrachte den Integranden [mm] \frac{ze^{iz}}{z^2+a^2}. [/mm] Diese Funktion integrier ich entlang dem Integrationsweg (Halbkreis in der oberen Halbebene)
[mm] a_R:[-R,R]\rightarrow\mathbb{C},t\mapsto [/mm] t
[mm] b_R:[0,\pi]\rightarrow\mathbb{C},t\mapsto Re^{it}
[/mm]
Das Integral entlang der Kurve [mm] a_R [/mm] geht in das uneigentliche Integral aus der Angabe über.
Das Integral entlang der Kurve [mm] b_R [/mm] müsste konsequenterweise verschwinden. Dies tut es jedoch nicht so einfach, was uns zu Stolperstein 2 führt:
[mm] |\int_{b_R}f dz|\leq |f|_{b_R}\cdot L(R)\leq \underbrace{|\frac{ze^{iz}}{z^2+a^2}|_{b_R}}_{Problem}\cdot R\pi
[/mm]
Ich bekomme diesen Term nicht abgeschätzt. Der Satz über das Wachstum rationaler Funktionen führt hier leider zu nichts.
Weiß jemand, wie ich diese beiden Probleme lösen kann?
Viele Grüße,
R00d
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Roodie,
willkommen hier im Forum.
Im Prinzip verfolgst Du den richtigen Weg, aber etwas nachdenken sollte man dabei trotzdem.
Du versuchst, ein uneigentliches Integral über ein komplexes Integral auszudrücken, Die komplexe Funktion des Integranden stimmt dabei selbst, oder in ihrem Realteil oder in ihrem Imaginärteil mit der reellen Funktion auf der x-Achse überein.
Aufgrund der Sinusfunktion empfiehlt sich hierbei die Nutzung der komplexen e-Funktion, aber bitte nur deren Imaginärteil:
[mm]\bruch{x \sin x}{x^2 + a^2} = \bruch{x\text{Im} e^{ix}}{x^2 + a^2} [/mm]
Auf der reellen Achse (z=x) gilt dann
[mm] \bruch{x \sin x}{x^2 + a^2} = \text{Im}\bruch{z\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} [/mm]
Der Integrationsweg auf der reellen Achse im Komplexen würde dann von [mm] -\infty\, \text{bis} \, \infty}[/mm] laufen. Als Grenzwert ausgedrückt, gibt dies
[mm] \text{Im}\lim_{R \rightarrow \infty} \int_{-R}^{R}\bruch{z\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} \, dz [/mm]
Dieses Integral musst Du nun über eine geeignete Kurve, meist ein Halbkreis, damit man bequem in Polarkoordinaten arbeiten kann, zu einer geschlossenen Kurve ergänzen und dann darfst Du den Residuensatz anwenden. Dann geht es weiter mit der Abschätzung über das Integral über den Halbkreis, wobei Du
[mm] z = R e^{i \varphi} [/mm] setzt und [mm] \varphi [/mm] von 0 bis Pi laufen lässt.
Zeige doch mal, was Du rausbekommst.
Viele Grüße,
Infinit
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