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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mi 25.08.2010 | | Autor: | chris3 |
Hallo Leute!
Ich hänge (mal wieder) an Erwartungswerten...
Ich bin eben in meinem Skript auf einen Beweis gestoßen, der benutzt, dass
E[|Y|] [mm] \ge E[|Y|\I1_{\{|Y| \ge a \}}], [/mm] mit a>0 und 1 als Indikatorfunkton.
Für mich ist diese Ungleichung unlogisch: Stünde statt dem Erwartungswert die Wahrscheinlichkeit, könnte ich das noch nachvollziehen, denn, wenn wir für Y nur die Wert betrachten, die betragsmäßig größer als a sind, sind das natürlich weniger Werte und damit ist die Wahrscheinlichkeit auch kleiner....
Bisher habe ich den Erwartungswert bei diskreten Zufallsvariablen immer als Durchschnitt angesehen und daher ist die Ungleichung für mich nicht logisch, denn nehme ich die Werte von Y heraus, die betragsmäßig kleiner als a sind, so ist doch der Erwartungswert größer, als wenn ich Y betrachte und Y alle möglichen Werte annehmen kann???!!!
Ich freue mich auf eure Tips und Hilfe 
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Huhu,
also jetzt mal als Grundverständnis zum Erwartungswert: Dass der Erwartungswert monoton ist, ist dir klar? D.h. dass für [mm] $X,Y\in \mathcal{L}^1$ [/mm] gilt:
$X [mm] \le [/mm] Y [mm] \Rightarrow [/mm] E[X] [mm] \le [/mm] E[Y]$
Nun überleg dir, dass gilt: [mm] $|Y|*1_{\{|Y| \ge a\}} \le [/mm] |Y|$
Als Hilfe noch die genaue Definition von [mm] $|Y|*1_{\{|Y| \ge a\}}$
[/mm]
[mm] $|Y|*1_{\{|Y| \ge a\}} =\begin{cases} |Y|, & |Y| \ge a \\ 0, & \text{sonst} \end{cases}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 25.08.2010 | | Autor: | chris3 |
achso, du meinst die Begründung ist folgende: wenn z.b. a=4 ist, so ist
[mm] |Y|1_{\{|Y|>4\}} [/mm] ja kleiner als |Y|, denn wenn zB Y den Wert 3 annimmt, so ist [mm] |Y|1_{\{|Y|>4\}}= [/mm] 0 und |Y|=3?!
Hab mir das jetzt in Bezug zum Erwartungswert nun so erklärt: dass dieser ja gerade als Integral definiert ist und [mm] E[|Y|1_{\{|Y|>4\}}] [/mm] ist ja gerade das Integral von |Y| und wir integrieren über |Y|>4. Bei E[Y] betrachte ich ja das ganze Integral (also von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty), [/mm] und damit ist ja E[Y] größer als E [ [mm] |Y|1_{\{|Y|>4\}} [/mm] ] ! Stimmt diese Begründung??
Danke schonmal!!!
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Huhu,
> achso, du meinst die Begründung ist folgende:
ich mein es nicht, sondern sie ist so 
> wenn z.b. a=4 ist, so ist
> [mm]|Y|1_{\{|Y|>4\}}[/mm] ja kleiner als |Y|, denn wenn zB Y den
> Wert 3 annimmt, so ist [mm]|Y|1_{\{|Y|>4\}}=[/mm] 0 und |Y|=3?!
Genau.
> Hab mir das jetzt in Bezug zum Erwartungswert nun so
> erklärt: dass dieser ja gerade als Integral definiert ist
> und [mm]E[|Y|1_{\{|Y|>4\}}][/mm] ist ja gerade das Integral von |Y|
> und wir integrieren über |Y|>4.
Jein, du integrierst über das Urbild von $|Y| [mm] \ge [/mm] 4$, was aber immer noch eine Teilmenge von [mm] $\{|Y| \ge 0 \} [/mm] = [mm] \IR$ [/mm] ist.
> Bei E[Y] betrachte ich ja
> das ganze Integral (also von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty),[/mm] und damit
> ist ja E[Y] größer als E [ [mm]|Y|1_{\{|Y|>4\}}[/mm] ] ! Stimmt
> diese Begründung??
Ja. Du hast zwei mögliche Begründungen. Einmal über die Monotonie und einmal über die Teilmengen-Eigenschaften des Integrals.
D.h. einmal gilt:
$E[|Y|] = [mm] \integral_{\IR} [/mm] |Y| dP [mm] \overbrace{\ge}^{\text{da } |Y| \ge |Y|*1_{\{|Y| \ge 4\}}} \integral_{\IR} |Y|*1_{\{|Y| \ge 4\}} [/mm] dP = [mm] E[|Y|*1_{\{|Y| \ge 4\}}]$
[/mm]
Und einmal kannst du es so Begründen:
$E[|Y|] = [mm] \integral_{\IR} [/mm] |Y| dP [mm] \overbrace{\ge}^{\text{da } \{|Y| \ge 4\} \subset \IR } \integral_{\{|Y| \ge 4\}} [/mm] |Y| dP = [mm] \integral_{\IR} |Y|*1_{\{|Y| \ge 4\}} [/mm] dP = [mm] E[|Y|*1_{\{|Y| \ge 4\}}]$
[/mm]
> Danke schonmal!!!
Kein Ding.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 Do 26.08.2010 | | Autor: | chris3 |
Super Erklärung
Danke, habe es verstanden!!
Gruß chris
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