Abschätzung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Di 09.08.2005 | | Autor: | RAT |
Hier meine Frage:
Sei [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{ \infty}a_{n} z^n [/mm] eine ganze Funktion. Für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] gelte
$|f(z)| [mm] \le Me^{|z|}$
[/mm]
Man zeige, dass dann
[mm] |a_{n}| \le M(e/n)^n
[/mm]
Als Hinweis steht noch da, die Cauchysche Integralformel zu benutzen...wäre toll wenn mir jmd helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Integriere über den positiv orientierten Kreis vom Radius [mm]n[/mm] um [mm]0[/mm]:
[mm]a_n \ = \ \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}}\int_{|z|=n}^{}~\frac{f(z)}{z^{n+1}}~\mathrm{d}z[/mm]
und verwende die Abschätzung
[mm]\left| \int_{\gamma}^{}~g(z)~\mathrm{d}z \right| \ \leq \ L(\gamma) \, \sup_{\gamma}{|g(z)|}[/mm]
worin [mm]L(\gamma)[/mm] die Länge des stetig differenzierbaren Weges [mm]\gamma[/mm] bezeichne und natürlich [mm]g[/mm] auf einer Umgebung der Spur von [mm]\gamma[/mm] holomorph sei. Beachte, daß du überall in der Abschätzung [mm]|z|[/mm] durch [mm]n[/mm] ersetzen kannst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Di 09.08.2005 | | Autor: | RAT |
Danke, jetzt weiss ich auch warum die Funktion ganz sein muss...weil man ja um Kreise mit bliebigem n integriert...
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