Abschätzung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo !
ich habe Probleme die Lösungshinweise einer Aufgabe zu Normabschätzungen (zwecks Äquivalenz) nachzuvollziehen.
Es ist ein Norm auf [mm] $\mathbb R^2$ [/mm] gegeben:
[mm] $$\Vert (x,y)\Vert=\vert x\vert +\vert x-y\vert$$
[/mm]
Meine Frage ist nun, warum aus $ [mm] \Vert (x,y)\Vert \leq [/mm] 1 [mm] \rightarrow \Vert (x,y)\Vert _2\leq \sqrt2$ ($\Vert(x,y)\Vert_2$ [/mm] ist die euklidische Norm) folgt, dass [mm] $1/\sqrt2\Vert (x,y)\Vert_2 \leq \Vert (x,y)\Vert$ [/mm] für ALLE $(x,y) [mm] \in \mathbb R^2$ [/mm] gelten? Ich sehe bisher nur, dass die Ungleichungen Aussagen über Punkte auf dem EinheitskreisRAND von [mm] ($\mathbb R^2,\Vert\,\Vert$) [/mm] machen, über innere Punkte dieses Kreises sehe ich zunächst einmal keine Aussage.
Wäre sehr dankbar für Hilfe!
Gruß,
Lorenz
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir haben also:
(*) aus $||(x,y)|| [mm] \le [/mm] 1$ folgt [mm] $||(x,y)||_2 \le \wurzel{2}$.
[/mm]
Und zeigen sollst Du:
(**) $ [mm] 1/\sqrt2\Vert (x,y)\Vert_2 \leq \Vert (x,y)\Vert [/mm] $ für alle $ (x,y) [mm] \in \mathbb R^2 [/mm] $.
Das ist klar, falls (x,y)=(0,0)
Sei also (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0). Setze $z:= [mm] \bruch{(x,y)}{||(x,y)||}$ [/mm]
Dann ist $||z||=1$ . Jetzt bist Du dran. Benutze jetzt (*) , um (**) zu erhalten
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
herzlichen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort. Ich glaub, ich habs gerafft - Homogenität ist hier Stichwort, gell?
Mann mann, hab ich mich da schwer getan...
Also nochmals DANKE!
Herzlichst,
Lorenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> herzlichen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort.
> Ich glaub, ich habs gerafft - Homogenität ist hier
> Stichwort, gell?
Jawoll, Homogenität der Norm
FRED
>
> Mann mann, hab ich mich da schwer getan...
>
> Also nochmals DANKE!
>
> Herzlichst,
> Lorenz
|
|
|
|
