Abschätzung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Sa 21.06.2008 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Beweisen sie dass die Wurzelfunktion x -> sqrt(x) gleichmäßig stetig ist.
Hinweis: |sqrt(x)-sqrt(a)|² <= |x-a| |
Hallo,
so wie ich ansetzen muss weiß ich ja, aber dann hab ich folgendes stehen:
|sqrt(x)-sqrt(a)| und das sollte ich abschätzen dass es <= |x-a| ist, aber
ich krieg das nicht hin, auch der Hinweis bringt mich nicht so recht weiter. Im Prinzip ist es ja klar, dass der Betrag mit den Wurzeln kleiner gleich |x-a| ist, aber wie erreiche ich das formal??
|
|
| |
|
> Beweisen sie dass die Wurzelfunktion x -> sqrt(x)
> gleichmäßig stetig ist.
>
> Hinweis: |sqrt(x)-sqrt(a)|² <= |x-a|
> Hallo,
> so wie ich ansetzen muss weiß ich ja, aber dann hab ich
> folgendes stehen:
>
> |sqrt(x)-sqrt(a)| und das sollte ich abschätzen dass es <=
> |x-a| ist, aber
>
> ich krieg das nicht hin, auch der Hinweis bringt mich nicht
> so recht weiter. Im Prinzip ist es ja klar, dass der Betrag
> mit den Wurzeln kleiner gleich |x-a| ist, aber wie
> erreiche ich das formal??
Seien [mm] $x,a\geq [/mm] 0$. Unter Verwendung der "dritten binomischen Formel" erhält man
[mm]|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\cdot |\sqrt{x}+\sqrt{a}| = |x-a|[/mm]
Nun ist aber [mm] $|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\leq |\sqrt{x}+\sqrt{a}|$, [/mm] weshalb daraus, durch Ersetzen von [mm] $|\sqrt{x}+\sqrt{a}|$ [/mm] auf der linken Seite durch [mm] $|\sqrt{x}-\sqrt{a}|$ [/mm] folgt, dass in der Tat
[mm]|\sqrt{x}-\sqrt{a}|^2\leq |x-a|[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 So 22.06.2008 | | Autor: | tinakru |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Leider hast du aber nur den Hinweis (meiner Meinung nach) bewiesen.
Zu beweisen ist aber:
[mm] |\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{a} [/mm] | <= | x - a|.
Das ist zwar intuitiv klar. Aber es sollte halt durch eine sinnvolle Abschätzung gezeigt werden. Und auf die komme ich leider nicht.
|
|
|
| |
|
> siehe oben
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort.
> Leider hast du aber nur den Hinweis (meiner Meinung nach)
> bewiesen.
>
> Zu beweisen ist aber:
>
> [mm]|\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{a}[/mm] | <= | x - a|.
Nein, dies ist nicht zu beweisen. Zu beweisen ist nur "gleichmässige Stetigkeit" (was entschieden nicht dasselbe ist wie Lipschitz-Stetigkeit mit $L=1$).
>
> Das ist zwar intuitiv klar. Aber es sollte halt durch eine
> sinnvolle Abschätzung gezeigt werden. Und auf die komme ich
> leider nicht.
Ich habe nie so recht verstanden, wie etwas, was "intuitiv klar" ist, allzuschwer zu beweisen sein sollte. - Aber Scherz beiseite: durch beidseitiges Wurzelziehen aus dem "Hinweis" folgt also
[mm]|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\leq \sqrt{|x-a|}[/mm]
Nun versuchen wir mal die gleichmässige Stetigkeit zu beweisen. Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gegeben. Wir wählen [mm] $\delta [/mm] := [mm] \varepsilon^2$, [/mm] dann gilt für alle [mm] $x,a\geq [/mm] 0$ mit [mm] $|x-a|<\delta$, [/mm] dass
[mm]|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\leq \sqrt{|x-a|} < \sqrt{\delta}=\varepsilon\[/mm]
was für gleichmässige Stetigkeit von [mm] $\sqrt{\;\;}$ [/mm] zu zeigen war.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 So 22.06.2008 | | Autor: | tinakru |
Danke für deine Antwort. Mein Problem war letztendlich das, dass ich mein Delta komplett falsch gewählt habe.
|
|
|
|
