Abschätzen und Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Blubie |
| Aufgabe | | [mm] f(z)=\begin{cases} \bruch{e^z-1}{z}, & \mbox{für } z \not= 0 \\ 1, & \mbox{für } z=0 \end{cases}. [/mm] z.z. ist, dass f(z) in a=0 stetig ist, mit Hilfe des epsilon-delta-Kriteriums, wobei f von [mm] \IC [/mm] nach [mm] \IC [/mm] abbildet |
Wir haben vor kurzem das epsilon-delta-Kriterium kennengelernt. Allerdings tue ich mir, was das abschätzen angeht, noch sehr schwer. Ich habe ja als Voraussetzung, dass [mm] \delta [/mm] > |z| > 0.
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0. Wähle [mm] \delta(\epsilon):= [/mm] ... . Dann gilt für alle 0 [mm] \le [/mm] |z| < [mm] \delta: [/mm] |f(z) - [mm] f(a)|=|\bruch{e^z-1}{z}-1| [/mm] ...
Ich weiß nun leider nicht, wie ich weiter abschätzen soll ... hat jemand einen Hinweis für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mi 29.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
benutze die Def von [mm] e^z [/mm] also die Reihe
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Blubie |
dann ergibt sich Folgendes:
[mm] |f(z)-f(0)|=|\bruch{e^z-1}{z}-1|=|\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}-1}{z}-1|=|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*|z|<|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*\delta<\delta*e^{\delta}
Stimmt das soweit? Jetzt ist mein Term nur noch in Abhängigkeit von [mm] \delta [/mm] vorhanden und ich muss denselben so umformen, dass er kleiner [mm] \epsilon [/mm] ist, oder?
[mm] e^{2\delta}<\epsilon \gdw \delta [/mm] < [mm] \bruch{ln(\epsilon)}{2}. [/mm] Nun schreibe ich den Beweis nochmal komplett auf:
Sei [mm] \epsilon>0. [/mm] Wähle [mm] \delta=\delta(\epsilon):=\bruch{ln(\epsilon)}{2} [/mm] und es gelte [mm] \delta>|z-0|=|z|>0 \Rightarrow |f(z)-f(0)|=|\bruch{e^z-1}{z}-1|=|\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}-1}{z}-1|=|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*|z|<|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*\delta<\delta*e^{\delta}
Es würde mich allgemein interessieren, ob das [mm] \delta(\epsilon) [/mm] nun richtig bestimmt ist, da ich nicht verstehe, warum man in den meisten Beweisen das [mm] \delta [/mm] als Minimum angibt.
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Hallo,
> dann ergibt sich Folgendes:
>
> [mm]|f(z)-f(0)|=|\bruch{e^z-1}{z}-1|=|\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}-1}{z}-1|=|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*|z|<|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*\delta<\delta*e^{\delta}
>
> Stimmt das soweit? Jetzt ist mein Term nur noch in
> Abhängigkeit von [mm]\delta[/mm] vorhanden und ich muss denselben
> so umformen, dass er kleiner [mm]\epsilon[/mm] ist, oder?
>
> [mm]e^{2\delta}<\epsilon \gdw \delta[/mm] < [mm]\bruch{ln(\epsilon)}{2}.[/mm]
> Nun schreibe ich den Beweis nochmal komplett auf:
>
> Sei [mm]\epsilon>0.[/mm] Wähle [mm]\delta=\delta(\epsilon):=\bruch{ln(\epsilon)}{2}[/mm]![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das kannst du nicht machen, denn für [mm] \varepsilon<1 [/mm] wählst du hier ein negatives [mm] \delta. [/mm] Aber es muss immer [mm] \delta>0 [/mm] sein!
> und es gelte [mm] \delta>|z-0|=|z|>0 \Rightarrow |f(z)-f(0)|=|\bruch{e^z-1}{z}-1|=|\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}-1}{z}-1|=|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*|z|
[/mm]
Bis hierhin ist alles gut und sinnvoll. Für |z|<1 gilt:
[mm] \left|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}\right|\leq\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{|z|^{k-2}}{k!}\leq\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k!}\leq\exp(0)
[/mm]
Wähle nun dein [mm] \delta [/mm] neu.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Do 30.06.2011 | | Autor: | Blubie |
nochmal neu:
Sei [mm] \epsilon>0. [/mm] Wähle [mm] \delta=\delta(\epsilon):=\epsilon [/mm] und es gelte [mm] \delta>|z-0|=|z|>0 \Rightarrow |f(z)-f(0)|=|\bruch{e^z-1}{z}-1|=|\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}-1}{z}-1|=|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*|z|\le|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*\delta\le\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{|z|^{k-2}}{k!}*\delta
[/mm]
|z|<1 [mm] \Rightarrow \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{|z|^{k-2}}{k!}*\delta\le\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k!}*\delta=(e-2)*\delta\le\delta\le\epsilon
[/mm]
Nun ist [mm] \delta [/mm] immer >0 für [mm] \epsilon [/mm] >0. Stimmt das so nun?
Und was ist mit den Fällen [mm] |z|\ge1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:55 Do 30.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf das e-2? aber es scheint richtig.
du willst doch nur die Stetigkeit bei 0 wieso dann |z|>1
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Do 30.06.2011 | | Autor: | Blubie |
Weil [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k!} [/mm] = [mm] -2+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1^k}{k!} [/mm] und das ist gemäß Def. [mm] e^1
[/mm]
Sorry, ich verstehe jetzt nicht ganz warum man nur |z|<1 betrachten muss. Davon steht im epsilon-delta-Kriterium nichts...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Do 30.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
da steht [mm] |z-0|<\delta [/mm] wenn du willst kannst du erst mal sagen [mm] \delta_1<1 [/mm] und dann für [mm] \delta (min(1,\epsilon) [/mm] nehmen. damit betrachtest du nur |z|<1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 Do 30.06.2011 | | Autor: | Blubie |
Das ist genau die Stelle bei der es bei mir vom Verständnis her immer hängt. Wieso [mm] \delta_{1}. [/mm] Wie genau kommst du auf das Minimum und ich vrstehe immer noch nicht warum die betrachtung |z|<1 reicht ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Do 30.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich interessiest du dich nur für kleine [mm] \epsilon [/mm] für die Steigkeit. du willst ja zeigen, dass du wenn du das z intefall (also [mm] \delta [/mm] nur klein genug wählst, auch die fkt von dem wert nur noch winzig abweicht.
nun steht aber in dem satz FÜT JEDE [mm] \epsilon>0 [/mm] also auch für [mm] \epsilon=5 [/mm] oder 1000. dann sagst du eben, wenn ich [mm] \delta [/mm] kleiner 1 wähle, dann klappt es auf jedenfall dass die funktionswerte sich nicht mehr als [mm] \epsilon [/mm] unterscheiden, wenn ich zusätzlich noch (hier) habe, dass [mm] \delta<\epsilon [/mm] ist.
das min nimmt man eben deshalb, wenn [mm] \epsilon [/mm] 100 wäre reicht [mm] \delta=1 [/mm] auch schon, für die [mm] \epsilon<1 [/mm] allerdings mus [mm] \delta\le\epsilon [/mm] sein .
den Kunstgriff mit dem min macht man oft, wenn man ne Schranke nach oben braucht. du hättest auch |z|<0.1 nehmen können ud dann abschäzen und das min(0.1, [mm] /epsilon_1) [/mm] nehmn können.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Do 30.06.2011 | | Autor: | Blubie |
danke für die ausführliche Erklärung.
Nur noch eins: D.h. also, dass die min. Angabe eigentlich sinnlos ist und es eigentlich auch gereicht hätte [mm] \delta(\epsilon):=\epsilon [/mm] oder auch [mm] \delta \le \epsilon [/mm] zu wählen, oder? man nimmt das min nur, um nochmal deutlich zu machen, dass diese Wahl auf einem beschränkten [mm] \delta [/mm] beruht. Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Do 30.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
genauer, man braucht erstmal ne grobe Schätzung für [mm] \delta=|z| [/mm] um die eigentliche zu machen,
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Do 30.06.2011 | | Autor: | Blubie |
Also müsste ich den vollständigen Beweis so aufschreiben?
Sei [mm] \epsilon>0. [/mm] Wähle [mm] \delta=\delta(\epsilon):=\epsilon.
[/mm]
Weiterhin gelte [mm] 1\ge\delta>|z-0|=|z|>0 \Rightarrow |f(z)-f(0)|=|\bruch{e^z-1}{z}-1|=|\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}-1}{z}-1|=|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*|z|\le|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*\delta\le\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{|z|^{k-2}}{k!}*\delta
[/mm]
|z|<1 [mm] \Rightarrow \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{|z|^{k-2}}{k!}*\delta\le\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k!}*\delta=(e-2)*\delta\le\delta\le\epsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Do 30.06.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
> Also müsste ich den vollständigen Beweis so
> aufschreiben?
>
> Sei [mm]\epsilon>0.[/mm] Wähle [mm]\delta=\delta(\epsilon):=\epsilon.[/mm]
besser Wähle [mm] \delta=min(1,\epsilon)
[/mm]
> Weiterhin gelte
Dann gilt: [mm] \delta=|z-0|=|z|/le [/mm] 1
(der rest ist ok)[mm]1\ge\delta>|z-0|=|z|>0 \Rightarrow |f(z)-f(0)|=|\bruch{e^z-1}{z}-1|=|\bruch{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^k}{k!}-1}{z}-1|=|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*|z|\le|\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{z^{k-2}}{k!}|*\delta\le\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{|z|^{k-2}}{k!}*\delta[/mm]
dass |z|>0 muss man nicht hinschreiben
> |z|<1 [mm]\Rightarrow \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{|z|^{k-2}}{k!}*\delta\le\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k!}*\delta=(e-2)*\delta\le\delta\le\epsilon[/mm]
Gruss leduart
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