Abs/Bed Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 So 08.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, ob folgende Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} ((-3)^{k-1}) [/mm] / [mm] (4^{k-1}))
[/mm]
abs. bzw. bed. konvergiert und berechnen Sie ihren RW. |
Hi an alle!
Vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen:
Soll eben Reihe auf Konvergenzverhalten untersuchen.
Hab mir gedacht, ich probiere es mal mit dem Leibnitz'schen Konv-Krit:
dazu muss ja für [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} a_{k} [/mm] gelten: 1. [mm] a_{k} \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] n 2. [mm] a_{k} [/mm] monoton fallend 3. [mm] a_{k} [/mm] --> 0
aber wie sieht mein [mm] a_{k} [/mm] in diesem fall aus? Oder ist hier ein anderes Kriterium besser?
Reihenwert wäre dann der lim von dieser Reihe, wie ich ihn aber berechne hab ich auch keinen Ansatz.
Würde mich über eure Vorschläge freuen!
Danke für eure Zeit,
lg Sr
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 So 08.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo roli!
Forme um wie folgt, und du erhältst eine schöne ![[]](/images/popup.gif) geometrische Reihe:
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-3)^{k-1}}{4^{k-1}} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \left(-\bruch{3}{4}\right)^{k-1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 So 08.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
Danke für deine schnelle Antwort!!
> Forme um wie folgt, und du erhältst eine schöne
> geometrische Reihe:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-3)^{k-1}}{4^{k-1}} \ = \ \summe_{k=1}^{\infty} \left(-\bruch{3}{4}\right)^{k-1}[/mm]
ja super! Dann gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} x^{n} [/mm] konv [mm] \gdw [/mm] |x| < 1
|(-3/4)| < 1 ... passt, somit Reihe konvergent und Limes beträgt:
1 / (1-x) = 4/7
richtig so?
lg Sr
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 So 08.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Roli!
Die Berechnung des Grenzwertes ist sehr lax aufgeschrieben (da ddie indexverschiebung nicht erläutert wurde).
Aber das Ergebnis ist korrekt.
Gruß
Loddar
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